多維轉化：建立學生空間觀念的策略研究

洪婷

摘要：起于一道五年級求表面的錯題，分析錯因發現學生在學習表面積計算過程中存在：一維與多維之間的轉化，學習素材單一;二維與多維之間的轉化，表像經驗缺乏;三維與多維之間的逆向轉化，空間觀念薄弱;多維轉化出現無序狀態等主要問題。教師經過多年教學發現需要從一維、二維及三維之間建立相互轉化的鏈接，幫助學生建立空間觀念，提出以下教學建議：提供一維與多維之間的轉化素材，積累學習經驗;豐富二維與多維之間轉化的表象，發展空間觀念;提供三維與多維之間的逆向轉化，形成空間觀念等幾個方面來促進多維的轉化，幫助學生建立空間觀念的實踐研究。

關鍵詞：表面積;空間觀念;多維轉化

中圖分類號：G210.7 文獻標識碼：A 文章編號：190216826

一、緣起：起于一道錯題

長、正方體的表面積計算在學生的過程中是錯誤率最大的一部分知識。究其原因是從三維立體圖形中找二維平面的相關知識，相關聯的知識更為復雜。表面積對于學生也是一個新的概念，建立清晰的表面積概念是解決相關問題的前提。教師在教學中如果能理清一維、二維和三維之間的轉化關系，那么知識之間的聯系就會變得更加清晰。

在人教版五年級下冊第26頁12題求頒獎臺的面積這題。學生在嘗試解決過程過出現了許多錯誤，例題如下：

【案例敘述】

要求：

1.選擇自己喜歡的方法，獨立完成，并解答。

2.完成后說一說自己是怎么想的。

3.和同桌交流，比較一下自己的方法和同桌的方法的差異。

如上三種正確的方法是主要出現在學生的作業本上，選擇方法1的占多數。仔細思考發現如上三種方法都有其類同之處。觀察法和找相同面都需要學生利用空間觀念。仔細分析每個面所對應的長和寬，拉伸法則是利用對三維立體轉化為二維圖形的一種思考方法，即觀察法的后延伸。

二、分析錯因

教師對五年級100位學生作為被試，采取調查方法得知，學生最常用的方法是方1，即利用觀察物體的方法求立體圖形的表面積。而大部分錯誤的學生都是由于在尋找方法過程中出現各種問題。

研究其主要原因是：學生存在一維、二維、三維之間相互轉化的對應問題，從而空間觀念沒有得到很好的發展。

（一）一維與多維之間的轉化，學習素材單一

一維與二維之間的相互轉化通常的表現形式是：線與面的相互轉化，學生在學習過程中經常會混淆線與面之間的聯系。教師往往在教學中對于這類相對比較簡單的教學一筆帶過，特別在長方形周長和面積周長當作面積計算教學時，沒有給學生提供更多的學習素材，無法足以區分這其中的區別。學生在學習長、正方體的表面積計算時，沒有將長方體各個面的長和寬與長方體的長、寬、高建立起清晰的“對應關系”

，導致學生只能熟練地說出表面積計算公式，卻無法根據立體圖形找到相對應的條件因此學生在學習過程中經常出現錯誤，把面積又當作周長來計算。由線轉化成面，由線轉化成體，由此，學生在計算長方體表面積的時候就也會把表面積當作周長來計算。

（二）二維與多維之間的轉化，表像經驗缺乏

二維與多維之間的轉化通常表現為：二維與一維的轉化及二維與三維之間的轉化。而對于五年級的學生來說，主要問題就出現在二維與三維之間的轉化，即面與體之間的動態變化。平面與立體之間的轉化，學生需要更多的表象的積累才能提升認知。對于“長方體和正方體表面積”的學習，通過精講習題和反復操練后，學生能掌握一類題的解題技能，但題目稍改動，或呈現稍復雜一點，學生就無從下手。說明學生對二維平面與三維立體之間的轉化還有所欠缺。

（三）三維與多維之間的逆向轉化，空間觀念薄弱

對于五年級學生而言，三維與多維之間的轉化主要表現為：三維與一維、三維與二維之間的逆向轉化。學生在解決立體的圖形問題時，學生總會出現這樣或那樣的問題。比如火柴盒的表面積計算，游泳池的內壁的計算以及教室粉刷墻壁計算表面積的多少。學生在計算時經常會出現問題是哪個面的面積找不到，哪條邊找錯。綜其原因主要是對三維立體，轉化為二維、一維的數據匹配無法建立，也就是空間想象力沒有得到很好的發展。

（四）多維轉化出現無序狀態

多維轉化在學生頭腦中應該形成一個有序的體系。特別是在五年級表面積教學時，教師在教學中鮮少有幫助學生建立有序的轉化，長此以往，學生的計算表面積就會越來越混亂。

三、概念的界定

【一維】：一維，理解為點動成線，指沒有面積與體積的物體。

【二維】：在一個平面上的內容就是二維。二維即左右、上下兩個方向，不存在前后。在一張紙上的內容就可以看做成是二維。即只有面積，沒有體積。二維是平面技術的一種，例如普通的平面動漫，稱之為二維動漫、簡稱二維。

（富有立體感的是三維）。另外，腦海里的想象也可看做二維。

【三維】：通常我們說的三維是指在平面二維系中又加入了一個方向向量構成的空間系。三維既是坐標軸的三個軸，即x軸、y軸、z軸，其中x表示左右空間，y表示上下空間，z表示前后空間，這樣就形成了人的視覺立體感。三維是由和一維二維組成的，二維即只存在兩個方向的交錯，將一個二維和一個一維疊合在一起就得到了三維。三維具有立體性，但我們俗語常說的前后，左右，上下都只是相對于觀察的視點來說。沒有絕對的前后，左右，上下。

【多維轉化】本文中的多維轉化指的是：一維、二維與三維之間的相互轉化。

四、多維轉化建立空間觀念的策略

長、正方體屬于三維立體圖形，求這類立體圖形的表面積即涉及到二維平面，但是在計算二維平面的同時，需要找到相對應的邊，也就是一維線段。因此，長正方體的表面積是五年級學習的一個難點，它涵蓋了多維度轉化的思想。在學習過程中學生需要找到相關的量，才能進行計算。教師經過多年的研究發現，通過以下策略的實踐可以突破表面積計算的困境。

（一）提供一維與多維之間的轉化素材，積累學習經驗

一維與多維之間的轉化主要表現為：線到面的轉化;線到體的轉化。教師需要給學生提供更為豐富的學習素材，幫助學生積累更多的學習經驗，使生活經驗可以得到進一步提高。

1.一維轉化為二維，由線及面

由線轉化為面，是相對比較簡單的一個過程，這部分可以放手交給學生獨立完成。發揮想象通過動手畫一畫、折一折、描一描、演一演，同伴之間的交流能夠給學生提供更為豐富的學習素材。

【案例1】師：請同學們動手把線到面的轉化通過畫一畫、折一折等表示出來

對于一維平面圖形和二維立體圖形之間的轉化，學生需要更多的實物素材的積累通過剪一剪、折一折、比一比、移一移的方法檢驗自己的想象。通過多次實踐操作，在感悟了一定的方法以后，很多學生解決這一類題目的正確率可以達到100%，空間觀念也能得到發展。

2.一維轉化為三維，由線及體

一維到三維立體的跳躍轉化，出現最多的就是表面積的計算這一單元中。學生在學習過程中經常出現問題。教師在教學過程中需要特別關注學生對于一維線段拼搭成三維立體圖形的方法的引導。

【案例2】請同學們拼一拼（教師提供學具）

把下列12條5厘米，4條6厘米，4條3厘米的線段，可以組成哪些立體圖形？

圖（1）是由4條5厘米，4條6厘米，4條3厘米的線段組成的長方體。

圖（2）是由12條5厘米組成的正方體。

圖（3）是由8條5厘米4條6厘米組成的特殊長方體。

通過搭一搭、拼一拼的方法給學生提供了更多的動手實踐的經驗。教師給學生提供更為豐富的學習素材，學生通過選擇，判斷，操作，建立了更加完整的立體圖形的概念。這樣的學習就是有意義的。

（二）豐富二維與多維之間轉化的表象，發展空間觀念

二維平面轉化為一維線段及三維立體，一則是逆向轉化，另一面是空間的延伸。教師在教學中創設更多的圖形表象，對于發展學生空間觀念有這舉足輕重的作用。

1.二維轉化為一維

數學的學習，除了要豐富生活經驗之外，更需要積累數學學習經驗。充實知識的積累只靠單方面的轉化還不能達到很好的溝通。因此在立體圖形中找長寬高，顯得必不可少。

【案例3】根據在長方體側面展開圖中找到長、寬、高，并長方體平面展開圖上標示出來

上題是比較好的從立體圖形中找長寬高的練習。從生活中找素材，幫助學生積累數學經驗。長此以往，對于求表面積數據的提取就不再出錯。立體圖形轉化求平面表面積的大小，對學生來說本就是一個難點。再加上計算的繁瑣，學生對求表面積會產生畏難情緒，造成計算表面積錯誤率相當的高。因此教師無論在課堂中還是課堂外，都要鼓勵學生利用所學的知識，區分不同的表象內容。

2.二維轉化為二維

二維如何轉化為二維呢？其實不是轉化，更確切的說的變化，把普通的平

面圖形與展開圖做對比就會發現，表面積的展開圖有其特殊的地方。

【案例4】一張長8厘米，寬6厘米的長方形紙，做成一張高為2厘米的長方體表面展開圖，怎樣做材料最節約？（上圖5）

通過剪一剪在長方形的四個角減去邊長為2厘米的正方形，從而做成一個無蓋的長方體側面展開圖，重現了表面積側面展開圖的相關知識，又使空間觀念得到了很好的發展。

3.二維轉化為三維

對于二維圖形和三維立體圖形之間的轉化，學生需要進行空間想象，然后通過實踐操作，在操作中驗證自己的想象。通過多次實踐，在數學經驗得到了一定的積累后，學生的空間觀念能得到發展。

【案例5】（1）下面哪些圖形沿虛線折疊后能圍成長方體？先想一想，再把它剪下來試看折一折

（2）下面這些表面展開圖，標出L-F、前后、左右六個方向，再觀察哪個圖可以圍城長方體。同桌說一說，為什么。

在“認識長方體和正方體”的課時中.學生通過觀察長方體，發現長方體有6個面，相對的面完全一樣等特征。在學習展開圖時，學生通過觀察展開圖，進一步加深了對這一特征的認知。我記得在做下面這個題目的時候，受正方體展開圖的思維定式影響，很多學生都只考慮這6個面能否圍在一起，忽略考慮長方體相對的面的面積相等。通過標出六個方位的面，可以幫助學生更好的建立表面積的概念。

（三）提供三維與多維之間的逆向轉化，形成空間觀念

三維立體轉化為一維線段和二維平面，看似由難到易的過程，實則不然。這是思維的逆向發展，不僅能更好的建立各部分知識之間的聯系，更重要的是提供了更為寬闊的逆向思維發展的空間，對空間觀念的建立起著重要的作用。

l.三維轉化為一維

由三維立體轉化為一維線段，學生只有在轉化過程中對體與線之間建立充分的鏈接，才能找到相關聯的數據，從而發展空間觀念。

【案例6】把一個長為40厘米、寬為20厘米，高為15厘米的包裝盒外面包絲帶，如圖，求包裝盒的絲帶長度（接口處不計長度）

（下圖6）

如上圖所示，長方體外面包裝繩的長度其實就是兩個長方形的周長。但是學生在這個識別階段，經常會出現誤判，或者是迷惘。他們無法很好的找到相匹配的量，因此在三維和一維逆向的、跳躍的轉化過程中，能更好的發展學生的想象力。

2.三維轉化為二維

觀察組合圖形面積的計算，同樣觀察法屢試不爽。若能在觀察法的基礎上促進三維立體轉化為二維平面的計算，那么對于學生的空間觀念的建立又是一個質的飛躍。

【案例7】把一個長30米，寬20米，高3米的游泳池，延深2米處在墻壁的四周涂油漆，需要涂多少平方米的油漆？

【案例8】：要求：把這個長方體游泳池的側面拉伸，變成一個長方形。利用六個方向看到的面積推導，側面積的計算簡便方法。

把游泳池的四周轉化為平面圖形即為一個長方形，求長方形的面積即是長方體的表面積。把三維視圖轉化為二維的平面視圖，組合成為一個整體。再利用長乘寬就可以計算出表面積的大小。因此如果學生學會利用轉化的思想，把復雜的問題簡單化，那么空間觀念的建立也會水到渠成。

3.三維轉化三維

三維立體圖形的轉化可以切一切、拼一拼、移一移……等各種不同的情況，幫助學生在小學階段建立良好的三維立體的空間觀念，學生在將來的學習過程中將會更為輕松，更加自信。

【案例9】一個正方體，切一刀，它的表面積變化了嗎？增加了多少？（表3在正方體上切一刀的變化情況）

不需通過計算，只要動手實踐，利用轉化的思想每切一刀表面積都會有不同的變化，但是它們的共同點就是表面積都增加了兩個面。教師在教學中要選擇有意義的教學方法，像此類的實踐操作，不僅能拓展學生的想象的空間，更重要的是幫助學生理清一維、二維、三維之間的變化關系，更有效的幫助學生建立空間觀念，突破表面積計算的學習困境。