高中數學中常見的不等式放縮方法

楊發蓮

摘要：在高中數學中，不等式擴展和收縮方法經常存在于各種不等式的證明中，這是證明不等式是否有效的常用方法，并且在學習過程中很難掌握這種方法。 本文重點研究了不等式的縮放方法，并以樣本問題的形式詳細解釋了具體的縮放方法，以幫助學生更好地掌握該部分的內容。

關鍵詞：關鍵詞：高中數學;不等式;放縮方法

一、淺析不等式縮放方法

在高中不等式相關內容的學習過程中，縮放方法是一種常見的不等式計算方法。它主要是擴大或縮小不等式左右兩側的項，以便找到中間項并幫助證明不等式是否正確。例如，如果難以直接證明不等式A和B，那么我們可以找到A中間c，在不等式的左側放大或縮小A到c，然后只需要證明A，c和B.這種證明不等式的方法稱為縮放方法。在使用此方法解決問題時，需要掌握一些技能。例如，在簡單的不等式的情況下，需要適當地丟棄一些不重要的項，而對于過于簡單的不平等，應該適當地添加中間項，但必須很好地掌握程度，并且復雜性不應該是增加，只有準確把握相關內容，才能很好地運用這種方法。

二、常見的不等式縮放方法

擴縮法是證明不等式的常用且非常重要的方法。在證明過程中，適當的縮減和收縮可以簡化復雜性并使難度變得更容易，從而以一半的努力獲得兩倍的結果。但是，收縮的范圍很難掌握，經常出現收縮后無法得出結論或得出相反的結論現象。因此，在使用擴縮法時，如何確定收縮目標非常重要。為了正確確定目標，我們必須根據結論，把握主題的特點。掌握擴張和收縮的技能，真正理解并根據不同類型的問題，采用適當的擴展和收縮方法，解決問題，從而培養和提高他們的思維和邏輯推理能力，分析和解決問題的能力。

2.1不等式縮放基于特定目標

要應用這種方法，有必要澄清問題的目標并掌握不平等縮放的程度方法主要包括添加一些項，刪除一些項，使用分數的屬性，還有使用不等式的屬性，使用已知的不等式和使用函數的屬性等。

添加一些項。比如，求證：3/2-1/（n+1）<1+1/（2^2）+1/（3^2）+……+1/n^2<2-1/n結題過程為

1+1/22+1/32+...+1/n2

>1+1/（2×3）+1/（3×4）+...+1/[n（n+1）]

=1+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+...+（1/n-1/（n+1））

=1+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/（n+1）

=（3/2）-1/（n+1）

1+1/22+1/32+...+1/n2

<1+1/（1×2）+1/（2×3）+...+1/[（n-1）n]

=1+（1-1/2）+（1/2-1/3+...+（1/（n-1）-/n）

=1++1-1/2+1/2-1/3+...+1/（n-1）-1/n

=2-1/n

2.2刪除某些項

標記a，b和c是正數，而ab + bc + ca = 1。標記a + b + c，當你看到這個問題時，如果你不使用某種縮放技術，那么這個這個題目是不可能開始的。為了證明結論是有效的，a+b+ c可以假設a，b和c的值是相同的，并且結合設定條件ab+bc+ca = l，我們首先假設a=b=c=1，所以我們可以發現等號有效。如果你想證明不平等是真的，你要么必須刪除一些東西然后證明它。具體的證明過程如下：

證明：因為（a+b+c）2—a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

=1/2{（a-b）2+（b-c）2 +（c-a）2} +3（ab+bc+ca）

所以，（a+b+c）2+3（ab+bc+ca）=3然后再對其進行開方，所以，a+b+c=3只有當a=b=c= 1時等號成立。

不等式的證明.

已知a大于2，用放縮法證明不等式：log a為底，（a-1）的對數乘以log a為底，（a=1）的對數，它們的乘積小于1.

結題過程：loga （a-1）*loga（a+1）

≤{ [loga（a-1）+loga（a+1）]/2}2={[loga （a2-1）]/2}2

<{[loga （a2）]/2}2

=1

所以，原不等式成立

2.3使用分數的屬性

例3已經知道a，b，c他們都是正實數，加上a+b>c證明a/（1+a）+b/（1+b）>c/（1+c）。

顯然，這個問題是一個不平等的部分。縮放時，我們可以將分子和分母與問題集中的已知不等式條件一起縮放，然后進行計算。因為a+b> c，所以a + b-c> 0，所以

c/（1+c）<c+（a+b-c）/1+c+（a+b-c）=a+b/1+a+b=a/（1+a+b）+b/（1+a+b）<a/（1+a）+b/（1+b）

所以c/（1+c）<a/（1+a）+b/（1+b）

即a/（1+a）+b/（1+b）>c/（1+c）

三、放縮過程的關鍵點

3.1基本的方式

a.常用在多項式中“舍掉一些正（負）項”而使不等式各項之和變小（大）

b.“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，

c.“在乘積式中用較大（較小）因式代替”等效法，而達到其證題目的

比如，要證明不等式A>B成立，可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，如A放大成C，即A<C，后證C<B，這種證法便稱為放縮法，技巧有：舍掉（或加進）一些項;在分式中放大或縮小分子或分母;應用基本不等式進行放縮。 理論依據有：不等式的傳遞性;等量加不等量為不等量;同分子（母）異分母（子）的兩個分式大小的比較。

3.2把握放縮的度

顯然要保持放縮后的表達式與原式有相同的極限，這就要求在一般情形下，事先即明確所求原式極限值為多少，經放縮簡化后的表達式又是多大。

四、結語

總而言之，對于一些在高中常用的利用放縮法解決不等式的方法和技巧已經做了一定的闡述。它涉及許多解決技能，并與數學的其他方面密切相關。要掌握這種方法，除了掌握關鍵技能外，還要進一步加強對其他板塊的認識。

參考文獻：

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