“搭配問題”模型的“精加工”

俞靜

【摘? ?要】“搭配問題”屬排列組合知識。在實際教學中發現，學生對于排列組合問題認知模糊，或思考無序，或類型混淆等。為改變這種狀況，在教學中可以從數學建模的角度來探討，以幫助學生更好地抽象、建構搭配問題中三類題型的模型，深化學生的認知結構，發展學生的數學素養。

【關鍵詞】搭配問題;模型建構;小學數學

人教版教材在二年級上冊數學廣角編排了“搭配一”，在三年級下冊數學廣角編排了“搭配二”。三年級下冊主要呈現了三種問題類型：排列問題（如用0、1、3、5能組成多少個沒有重復數字的兩位數）、搭配問題（如三件衣服和兩條褲子的搭配種類）、兩兩組合（如求四個隊循環賽比賽場次）。這里的搭配問題，在于培養學生有順序地、全面地思考問題的意識，發展學生的邏輯思維能力，對學生后續學習影響較大。

鑒于自己的教學體會以及在與同行的探討中發現，學生解答此類習題時錯誤率較高，往往把不同類型的問題相互混淆，生搬硬套。

【問題與分析】

筆者設計了三類習題組對三（1）班39位學生的學習情況進行了調查，試圖尋求教學突破。

從測試情況來看，A組習題正確率較高，個別學生出現小錯誤，或因題目要求看錯，如A組中第二題錯看成兩位數排列。或因數錯算錯，如A組的第一題和第三題，但解題思路基本正確。而B組的題目與A組的題目類型一致，只是稍加變式，學生錯誤率便明顯提高。

通過對學生的訪談發現，B組題的錯因可以歸為以下幾點。

1.對各類問題模型本質認識模糊、片面、不深刻。如第一題中的B組從本質上說與衣服和褲子的搭配問題結構相同，都可以抽象成一類與另一類的搭配。只是衣服與褲子的搭配可近似看成 “點狀物搭配”，而有幾種走法的問題類似“線狀物搭配”，當出現這種稍有變化的問題情境時，部分學生無法做出準確判斷和辨識，導致在解題中思路受阻，出現了3×2=6（條）的現象。

2.題目中的信息條件有時比較隱晦，部分學生缺乏理解和轉換能力，便任意套用模式進行解答，相互混淆。如第二題中的B組，好多學生把“王老師要把三本不同的課外書分別送給小青、小林和小芳”理解為“一個學生搭配一本書”是一種情況，而不是三個學生都送才能算一種情況。第三題中的B組同理，部分學生對于“每次取兩個，取出的錢共有哪幾種情況”的解讀出現偏差，錯以為是排列問題。這些都恰恰反映出學生對稍稍隱晦的信息辨別、轉換能力較弱。

3.思考缺乏有序性，導致重復、遺漏或表達不清。如第二題中的B組錯例3和第三題中的B組錯例2，學生雖然能辨識確定問題類型，但要把思考過程和結果有序、完整地表示出來還存在一定的困難。而第二題B組中的錯例2，雖然排列出了6種情況，卻沒有把書本與人對應，不知道誰得到的是哪一本，表達不清。

顯然，在課堂上教師不僅需要在問題模型的意義建構上下功夫，還應指導學生有效解讀習題中的信息和問題，實現問題與內存模型的順利銜接，并適當地擴展延伸。通過多角度的打磨，實現模型的“精加工”，深化學生的結構認知。

筆者嘗試通過以下幾個方面加以落實改進。

【策略與實踐】

一、抽象加工，認清模型本質

數學模型是舍去對象的一些非本質的屬性，借助數學符號形成的一種數學關系結構，在引導學生探究問題時教師要適當放大這一過程，以學生的學習經驗為基點，逐步抽象、概括出數學模型，認清模型本質。如在教學“衣服與褲子的搭配問題”時，教師可以在探究思考環節讓學生用不同的符號或圖形來表征數學問題，諸如“”。結合圖示，先確定一件衣服依次和褲子搭配或先確定一條褲子依次和衣服搭配，都能得到幾個幾相加的結構，進而抽象得出“衣服數×褲子數=搭配總數”的結構模型。此后，教師可進一步追問：除了衣服和褲子可以搭配，這里的○和△還能表示什么東西的搭配？讓學生一一舉例，比如“路線搭配問題”等，豐富模型的內涵。當學生儲存起足夠多的假設代入，就能在一定程度上避免如前面所說的單向模仿，稍有變通就找不著北的現象。同樣，在排列問題和兩兩組合問題的教學上也可以遵循如上的抽象建構路徑。

二、比較加工，類化模型結構

在注重每種問題模型本身建構的同時，也需要對不同的問題模型進行溝通、比較。教師可以借助生活中相關的三個實際問題作為載體，借助圖示引導學生逐步歸類比較。如可創設一組問題情境：

從兩名男演員和兩名女演員中選一名男演員和一名女演員進行雙人舞表演，一共有幾種不同選法？

從兩名男演員和兩名女演員中選兩人表演一個節目，一共要表演幾個節目？

從兩名男演員和兩名女演員中選兩人站成一排照相，一共有多少種不同的照法？

通過解答，有意識地引導學生用畫圖表征的方法得到如下三種情況（圖中的○和△分別表示男演員和女演員）。

通過直觀的符號圖示引導學生觀察對比，就能一目了然地得出三類問題之間的區別和關聯。比如：排列問題與順序有關，順序不同，結果也不同，而組合問題、搭配問題與順序無關。排列問題，可以分步思考，第一個位置有幾種情況，第二個位置有幾種情況，一一羅列。也可先找出組合數，再求得排列數。當然，這里不必要求學生抽象地計算出有多少組合數和排列數，若學生能自我感悟并提出計算方法，則進行鼓勵。這三類問題解答的共同點都需要有序、全面地思考。通過如此比較“加工”，學生自然而然地實現了對三種問題的結構區分。如果學生能清晰地表征并有序思考和羅列，那么我們的教學目標也隨之達成了。

三、解碼加工，有效對接模型

數學問題的解決離不開對數學信息的正確解讀，倘若讀取信息偏差、解碼錯誤，那么就不能有效地實現現實情境與腦中問題模型的對接。所以，指導學生正確解讀信息這一步至關重要，特別是關于問題情境中一些相對比較隱晦的信息，比如“王老師要把三本不同的課外書分別送給小青、小林和小芳，共有多少種送法”的問題，教師要引導學生抓住關鍵信息“分別送給小青、小林和小芳”來分析：怎樣算一種送法？是一人送出一本算一種情況，還是三個人分別送出算一種情況？如果交換書本的順序，送書的情況一樣嗎？那么經過仔細思考和分析，學生應該能夠理解三人都送出才算一種送法，也能確定三本書的排列問題了。這與“1、2、3三個數字能組成幾個三位數”的結構模型一樣，這樣一來，便實現了轉換“對接”。具體解答中還需要指導學生把每一種送法與相應的人對應起來。如以下形式排列（①②③分別代表三本不同的書）：

小青? ? ?小林? ? ? 小芳

①? ? ? ? ?②? ? ? ? ?③

①? ? ? ? ?③? ? ? ? ?②

②? ? ? ? ?①? ? ? ? ?③

②? ? ? ? ?③? ? ? ? ?①

③? ? ? ? ?①? ? ? ? ?②

③? ? ? ? ?②? ? ? ? ?①

另外還要關注相似問題的信息解讀，比如：“四個好朋友，每兩人互相握一次手，一共要握幾次”“四個好朋友，互寄賀卡，一共要寄幾張賀卡”。從字面上看，互相握手和互寄賀卡差不多，但實際上意義完全不同。互相握手與順序無關，而互寄賀卡與順序有關，兩個人之間要寄兩張賀卡，需要引導學生甄別。

四、變式加工，靈活運用模型

在實際應用中，教師可以有意識地對三類數學問題進行拓展延伸，達到融會貫通、靈活運用的預期目標。比如，對于衣服和褲子搭配這種兩類事物的組合問題，可以適當增加信息拓展到三類事物的搭配：有三件衣服，三條褲子，兩頂帽子，如果一件衣服搭配一條褲子和一頂帽子，那么一共有幾種搭配？讓學生根據之前的活動經驗進行探究，找到解題方法，即“衣服數×褲子數×帽子數”，體會“把每一類事物數量相乘等于搭配總數”的結構模型。

在排列問題中同樣能設計一些變式練習，如：參加獨唱的四位選手小明、小華、小東、小麗抽簽決定比賽順序，小明抽到的不是3號，你能寫出一共有多少種順序嗎？解題中不僅有排列，還要根據信息排除不符合要求的情況，要求學生能靈活應用數學問題模型。

經過問題分析及教學策略改進后，筆者進行了再次調查，設計了一組類似于B組的綜合變式題。學生的平均解題正確率達到了87.1%，正確率明顯提高。

綜上所言，任何數學模型的抽象和意義建構都不是一蹴而就的，需要經歷“精加工”的過程。教師需要做的是，善于發現學生思維的阻點和斷層，找出內因，幫助學生解疑釋惑，掃除障礙，做一個合格的“加工者”，讓學生養成應用模型進行數學思維的習慣，提高數學素養。

參考文獻：

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[3]邵光華.作為教育任務的數學思想和方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

（浙江省寧波市奉化區錦屏中心小學? ?315500）