“多疑”出正解
——三角函數中角的范圍的界定

☉蘇州外國語學校 孫龍華

一、考題再現

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，以x軸為始邊作兩銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓交于A，B兩點，且A，B的橫坐標分別為，求（1）tan∠AOB的值；（2）α+2β的值.

圖1

【考題分析】本題主要考查三角函數的定義、兩角和與差的正切公式、二倍角公式以及特殊角的三角函數值等相關知識.對于問題（1），根據題意可知，然后根據同角三角函數關系式中的平方關系式，可求得sinα，sinβ的值，這樣tanα，tanβ的值就有了，而tan∠AOB=tan（β-α），依據兩角差的正切公式展開即可求得答案；而問題（2）要求α+2β的值，由于角α，β并非特殊角，所以只有整體求值，通過計算α+2β的三角函數值，間接求出α+2β的值，本題中選取求正切值較為妥當.

【學生錯解】（1）因為α，β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點，且A，B的橫坐標分別為，所以.又由題意知，α，β均為銳角，所以.所以.所以

【錯解分析】學生的解答過程中，第（1）小題沒有錯誤，是正確的，第（2）問的解答是錯誤的，在考試的時候，很多學生都“栽”在第（2）問上，看似無懈可擊的過程，其實反映了我們大多數學生在平時解題時的“缺心眼”.當結果求出時，我們要多幾份質疑：怎么會解出兩種情況？這兩種情況都正確嗎？要不要驗證一下？如果不正確，是哪個環節出現了問題？當我們有了上述疑問之后，就會再去認真研究整個解答過程.既然出現了兩個解，而整個解答過程的計算又沒有問題，那就只有一種可能：角的范圍過大，導致多解，沿著這個思路，我們驗證的方向就明確了，下面我們一起來看一下第（2）問的正確解答.

【第（2）題正解】由（1）知，所以.因為，所以.因為，且α為銳角，所以，且β為銳角，所以.所以.所以.而tan（α+2β）=1，所以.

點評：根據三角函數值來確定角的大小，最為關鍵的是要確定好角的取值范圍，而這其中有些題目給的范圍恰到好處，在范圍內只有正確解.可當遇到有些既給了三角函數值，又給了大致范圍的題目，我們就要當心“陷阱”，當根據題設給定的范圍求解出現多解時，一定要再根據三角函數值重新界定并縮小角的范圍，去掉錯誤的答案，本題就是一個很好的例子.

其實這道考題是根據2008年的江蘇高考題改編而來的，下面我們再來品味一下這道高考題.

二、品味高考

【2008年江蘇15】如圖2，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊，作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為

圖2

（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值.

【思路簡析】第（1）問由三角函數的定義，知，而后根據同角三角函數關系式，分別求出，進而求得tanα=7，，最后利用兩角和的正切公式，解得tan（α+β）=-3；第（2）問中，求得，因為，所以α+2β∈，從而

點評：這道高考題主要考查三角函數的定義、兩角和的正切公式、二倍角的正切公式等.本題的考查，比上述考題的考查要容易很多，主要是題設數據比較巧，導致第（2）問中求得tan（α+2β）=-1，而，在此范圍內只有一解.

在課本教材上的習題中，也有安排需要考慮角的范圍的習題，在這里列出來，與大家一起體會編者的用意.

三、回味教材

蘇教版數學《必修4》第123頁練習題第3題：

【題目】已知，且α，β都是銳角，求α+2β的值.

【思路簡析】此題就是“考題再現”中的考題的原型，其解法這里就不再贅述了.蘇教版數學《必修4》第112頁習題第12題第（2）題：

【題目】在△ABC中，已知，求cosC.

【學生錯解】在△ABC中，易知C=π-（A+B），所以cosC=cos［π-（A+B）］=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB.因為，所以，所以，下面分兩種情況討論：

【錯解分析】學生的解答過程看似非常完美、無懈可擊，考慮得很是全面，其實錯誤還是出在角的范圍的界定上，在題中，由必然要去算cosA，但是這時cosA有兩種情況，這兩種情況都符合三角形中角的要求嗎？這是解題中出現多解時，我們必須要考慮的問題，故我們需要重新審定角A的范圍問題.

【正解】因為，所以0°＜B＜90°.又因為，即sinA＜sinB，在△ABC中，根據正弦定理，有2RsinA＜2RsinB，即a＜b，所以A＜B.而0°＜B＜90°，故0°＜A＜B＜90°.再由可得，，于是

點評：本習題在新授課講解時，絕大部分學生都是采用了【學生錯解】中的分類討論來做，根本沒有考慮到角A的取值范圍問題，歸根到底，還是學生在考慮問題時不夠全面.像這類在三角形中的求三角函數值的問題，一定要結合另一個角的三角函數值，來界定角的范圍，切不可盲目地分類討論.

三角函數中有關角的求值問題，是學生學習三角函數時的一大難點，在平時的學習中，我們要刻意加強這方面的訓練，俗話說“熟能生巧”，只有多練、多寫、多思，才能有效減少解題時出現的錯誤.