培養高中生數學直觀想象素養的教學研究

☉江蘇省南通市開發區天星湖中學 施慧麗

對于高中數學幾何知識的學習，除了要掌握必要的計算公式和方法外，還需要具備一定的直觀想象素養，養成直觀想象的解題思維習慣，這樣才能夠幫助學生快速地掌握幾何知識，有效地破解幾何難題.高中幾何知識對于部分想象能力強的學生來說不算是什么難點，但是對于缺乏這種能力或者這種能力不高的學生來說，有必要掌握一些直觀想象的辦法，并由此開拓自身的解題思路，讓自身的思維和數學知識產生必要的關聯，引導學生在自主想象和思考的過程中逐個擊破高中的幾何知識難點問題，并以此來提升自己的數學學習能力與數學學科綜合成績.

一、引導學生學習幾何知識，形成空間圖像表象

教師要明白，讓學生學好幾何知識，必須要將抽象的幾何問題轉變為直觀的空間圖像表象，有了這樣的轉化，學生才能借助于空間思維能力去構建幾何圖形，并以此借助運算方法計算幾何知識.教師可在教材內容的基礎上，著重為學生講解幾何知識的基本原理和公式，讓學生學會使用語言、作圖等形式傳達教材中的幾何知識點，并學會使用自己的思維模式去分析幾何問題的解題思路.例如，在學習《立體幾何初步》一課時，教師可以引導學生從簡單的階段——認識幾何知識和學會幾何作圖出發，讓學生構建屬于自己思維慣性的幾何圖形的學習模式，讓學生觀察圖形代表的幾何知識點，并由此進一步讓學生學會對幾何知識的總結.尤其是幾何形體之間的聯系，像錐體、柱體、臺體、球體等這幾類立體幾何圖形的學習，學生需要在自主學習和探索的過程中利用空間圖像表象的構建去認識它們之間的相同點和不同點以及聯系，如圖1所示的圓錐和圓臺，它們之間的關系就是圓臺可以由圓錐截掉上端的一部分得到.這樣便于學生進一步理解和掌握幾何圖形的一些基礎原理，進而加深對幾何圖形的認識，強化對幾何知識的掌握程度.

圖1

二、加強學生用圖意識，合理利用直觀想象解題

高中幾何知識的學習需要一定的直觀想象能力，尤其是對于在這方面能力薄弱的學生來講，需要教師強化學生的用圖意識，引導學生在合理的直觀想象下去逐步解題.因此，教師在日常的幾何類知識的教學過程中，需要告訴學生圖形轉化思想的重要性，讓學生學會將教材內容圖形表征之間的聯系進行自主思考和探索，強化自身的圖形轉化能力.同時，教師要告訴學生，幾何圖形是可以使用數學語言去描述的，二者之間存在相互轉化的關系，例如告訴學生一些幾何圖形的常識原理“一條直線上有兩個點都在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在一個平面內.”以此來強化學生對圖形原理知識的記憶，便于學生在腦海中自主構建圖形表征，從而提升解題效率.

三、使用多種畫法解題，構建最佳問題

教師引導學生使用多種畫法來解題，這不僅有助于學生快速解題，而且有助于提高學生的解題思維能力.同時，在多種畫法的解題過程中，教師需要構建出最佳問題，尋找到圖形解題的最佳途徑，讓學生在遇到同類型的題目時，能快速找到最佳畫法，而不是在眾多畫法中難以選擇哪一種最為有效.首先，教師需要引導學生學會觀察幾何類型的題目，以命題人的視角去觀察這道題的最佳解題辦法，以此構建多樣的畫法，讓幾何圖像直觀地呈現在草稿紙上，這對于學生精確理解題意和快速掌握解題辦法有很大的幫助.其次，在學生解題時，要借助腦海中的直觀圖像來解題，例如在解決函數類的知識題目時，教師就可以引導學生構建最佳解題的思維辦法去解題，讓函數知識與幾何知識得以轉化，使用作圖的方法來實現函數的最佳解決路徑，以此可提升學生的解題質量和效率.

例1已知函數f（x）=若f（x）=10，則x=______.

例題答案：函數f（x）的圖像，如圖2.由10＞0得f（x）=x2+1=10，且x＜0，得x=-3.

圖2

例2已知關于x的方程x2-4|x|+5=m有四個不相等的實根，則實數m的取值范圍為______.

圖3

例題分析：這道題如果用直接法的話就要先將方程化簡，然后求出x1，x2，并進行分類討論再應用.這樣的過程既繁瑣又會加大題目難度；但若結合二次函數來繪制題目圖像，采用數形結合的方法，就可以簡化解題過程，鍛煉學生的直觀想象能力.

例題答案：設y1=x2-4|x|+5，y2=m.又y1為偶函數，由圖3可知1＜m＜5.

四、培養學生識圖能力，變換方式尋求解題辦法

識圖能力是高中生學習幾何知識的一種必備能力.教師在教導學生學習幾何知識時，有必要引導學生具備一定的識圖能力.在識圖過程中，要運用多種方式變化解題，這樣才能保障學生已經對題目中的內容充分理解并消化，以此抓取有效的題目信息，幫助學生識圖、作圖，借助一定的計算公式，得出題目答案.教師要引導學生對題目的問題進行轉化，以構建圖形的方式轉化為自己的理解方式，有效地理解題目中隱藏的信息，以此幫助學生快速理解題目轉化，以直觀想象解決題目問題.

例3圓x2＋y2-2x-2y＋1＝0上的動點Q到直線3x＋4y＋8＝0距離的最小值為______.

圖4

答案：2.

解：因為圓x2+y2-2x-2y+1=0，即（x-1）2+（y-1）2=1，所以該圓為以（1，1）為圓心，r=1為半徑的圓，圓心到直線的距離為，則圓上的點到直線的最短距離為dmin=3-1=2.

五、利用特殊模型，提升圖形語言轉化能力

在高中幾何知識的學習中，教師可借助特殊模型的構建，讓學生在直觀想象的同時，將圖形中隱藏的語言進行轉化，進而幫助快速解題.例如，在“異面直線的概念”一課的學習中，教師可以讓學生使用作圖的方式，構建出不同平面內的兩條直線，通過兩條直線的不同位置變化，來分析這些不同平面內直線之間的關系，并由此掌握不同平面直線位置關系的問題，幫助學生理解異面直線的幾何概念.借助特殊的模型，例如兩只直尺，在兩本書封面上的位置變化來理解異面直線的概念，這些都可以幫助學生掌握一定的圖形語言轉化形式，培養學生的幾何語言理解能力.

六、總結

總之，直觀想象素養對于幫助提升高中生學習幾何知識極為重要.解決幾何問題都需要直觀想象，有了這樣的能力，學生不但可以加深對幾何原理、概念的理解，還可以掌握更快速的解題技巧，對提升學生學習數學知識的效率有重要的現實意義.