強化應用題教學，提高學生建模等數學素養
——淺議高中數學應用題的教學現狀與對策

☉江蘇省金湖中學 陳萬斌

數學不是空洞的，也不完全是抽象的，數學來源于實踐又服務于實踐，而數學應用題正是培養學生運用數學知識和方法來解決實際問題的能力，體現出數學的無處不在與無所不能.數學應用題是考查學生分析問題和解決問題的能力，也是高考的重要組成部分，在每年的高考中所占分值較大，一般江蘇省高考應用題處于試卷解答題的中間位置，是中等生和優等生得高分的基礎，若處理不好，往往會影響后面的習題解答，進而直接影響到最終的數學成績.但就目前學生的現狀來說，一是畏懼應用題，閱讀能力不高，特別是遇到題目較長、字母較多、數量關系較復雜的題目時就缺乏堅持讀題的信心；二是解決應用題時缺乏耐心，讀題草率，審題不仔細，特別是不善于列出有用信息，并找出關鍵句；三是不會建模，特別是遇到陌生的數學情境時就會茫然不知所措.這就要求我們數學教師要加強應用題教學，并對應用題進行深入的研究，進而幫助學生找到應用題的解決辦法，希望本文能對教師開展應用題的復習課教學有所幫助.

一、案例分析

（一）近期考題再次分析

下面例題是江蘇省淮安市高三三模試卷中的數學應用題.

例題將一鐵塊高溫熔化后制成一張厚度忽略不計，面積為100dm2的矩形薄鐵皮（如圖1所示），并沿虛線l1，l2裁剪成A、B、C三個矩形（B、C全等），用來制成一個柱體，現有兩種方案：

圖1

方案①：以l1為母線，將A作為圓柱的側面展開圖，并從B、C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面；

方案②：以l1為側棱，將A作為正四棱柱的側面展開圖，并從B、C中各裁剪出一個正方形（各邊分別與l1或l2垂直）作為正四棱柱的兩個底面.

（1）設B，C都是正方形，且其內切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；

（2）設l1的長為xdm，則當x為多少時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？

解析：（1）設所得圓柱的底面半徑為rdm，則（2πr+2r）×4r=100，

（2）題意分析：

①本題是由平面圖形裁剪后構成的空間幾何體，但涉及到的“未知量”較多，且不完全是“相等”關系.

②找出“相等”關系和“不等”關系.

③把條件和結論聯系起來，可以從條件入手，向結論轉化；也可以從題意入手，挖掘其實際內涵.

④對數學的建模能力和“純”數學的處理能力要求較高.

方法一：常規思路，從“式子”出發，采用“消元”法.轉化為以“x”為“未知量”的分段函數，即以“x”為主元，通過不等關系消去“a”.

如圖2所示，設正四棱柱的底面邊長為adm，KP=mdm，且已知PN=xdm，QK=4adm，則有100=（4a+m）x.

圖2

方法二：一般思路，從“式子”出發，采用“主元”法.

轉化為以“a”為“未知量”的函數，即以“a”為主元，通過不等關系消去“x”.

方法三：觀察已知式子和所求結論的“結構”特點，進行“配湊”.

方法四：立足“題意”本質，從“意圖”出發.

圖3

設PK=mdm，已知PN=xdm，且x（m+4a）=100，比較PK與PF的大小，即小的就為正四棱柱的邊長.

錯因：①學生對平面到空間的轉換不適應.②習題的表達過長，讓人望文生畏.③題目中變量的關系較多，而且多為“不等”關系，錯綜復雜.④因變量過多導致關系混亂，不能準確理解題意，不易建模.⑤不等關系不易計算，學生不善于把條件和結論結合起來聯想，數學化能力不強，解決數學問題的能力不夠.⑥應用題的題意能懂但理解的不夠透徹，缺乏耐心和提取關鍵信息的能力.⑦沒有解決應用題的科學習慣，剛粗略讀題后就立即書寫，沒有進行更深層次的思考，實際讀題只停留在表面.⑧格式不夠規范，沒有掌握應用題解題的基本步驟.⑨仍有畏懼心理，“不想做”“不敢做”“不能做”，更不會“分層做”.

（二）近三年高考考題專門研究

研究近三年江蘇省高考數學應用題，總結如下：

背景：行程、保護區、公路、倉庫、容器等.

知識：三角、圓、切線、解析幾何、立體幾何等.

考查：解三角形、解析法、求體積、求解析式等最值問題.

方法：找出關系，建構函數模型，利用和積不等式或求導求得最值.

注意：變量的取值范圍、習題中的敘述轉化為代數式或數量關系；綜合性較強，如轉化三角形，除了用到正弦、余弦定理外，還會用到兩角和與差的三角函數等；先列解析式再通過求導進而得出最值.

二、應用題再認識

1.特點：背景豐富（用概念新穎、取材廣泛的實際載體或配圖為空間圖形和復雜的平面圖形等）、文字冗長、變量較多、數量關系復雜（相等和不等關系等）.

2.難點：閱讀量大、字母多且抽象性高、背景不熟、概念不清、顯性關系復雜或隱性關系不明、數學求解不易等.

3.考查要求：閱讀能力、創新思維、實踐能力、數學類型識別、數學建模、數學思維等綜合考查，間接考查數學建模素養、數據分析素養、數學運算素養等.

4.近幾年江蘇省的考查類型：函數（含分段函數、含范圍等）、三角、不等關系、立體幾何背景、解析幾何背景、物理等學科背景、生活背景等.

三、淺談應用題的教學策略

1.教會能力

（1）讀題能力：對語言進行簡化，使題目簡明、清晰，可借助表格、圖形來處理數據，弄清概念、名詞，進一步熟悉和理解背景.一是略讀，了解大意，屬于哪一類問題，邊讀邊記，邊畫示意圖，防止信息遺漏；二是細讀，抓住關鍵詞和重要語句，篩選出有價值的信息，在略讀基礎上進行研讀；三是精讀，重在領會，關鍵把應用題的抽象內容轉化為具體內容.要舍得花時間，才能真正讀懂、讀透，絕不能走馬觀花就隨意動筆.

（2）數學建模能力：即根據題意建立合適的數學模型，把實際問題轉化為數學問題，涉及數學抽象能力、挖掘內涵和轉化能力等，還涉及：比較、綜合、抽象、概況、演繹、推理、聯想等能力.

（3）解題能力：針對轉化而來的數學問題，選擇和運用相應的數學知識解決數學問題的能力，涉及邏輯思維能力、數學運算能力，找準相應解題方法.

（4）計算能力：實際問題的結果都是通過數學運算獲得的，需要學生有較高的計算能力.在計算過程中需要學生能靈活應變，化解計算中的難點，同時要兼顧應用題的“實際性”，如自變量的范圍、結果的選擇等，確保最終答案的正確.

2.教會自主

（1）自主閱讀：喚醒學生主動參與，留時間引導學生學會閱讀，從慢讀、細讀、精讀、會讀，逐步提速，迅速接受概念，快速全面理解題意.

（2）自主提煉：教會學生透過冗長的敘述抓住關鍵詞句，找出重要數據，可以訓練學生提煉材料，抓主體保本質.

（3）尋找關系：提煉有價值的信息，找出關系并能等價轉化，學會聯系，依靠數學知識建立數學模型.

（4）尋找細節：注意細節和特殊條件，應用題的過程和結果離不開實際背景.

3.精心選題 加強系統訓練

通過分析近5年江蘇高考及全國高考的應用題的特點，編制知識面系統、建模典型的《應用題專題復習》導學案，即按照知識體系對應用題進行分類，對各類模型進行匯總，以培養學生識別模型、建立模型、應用模型的意識和能力，提高教學效益，讓學生有法可依.

四、感悟

有位著名的數學家曾經說過：知識不是硬性灌輸給學生的，一位優秀的傳輸者應該積極引導學生進行探索，引領學生進行反思，而不是磨滅學生的創造性和主動性.數學應用題的教學也是如此，它是一個創造、發現、更新并且不斷提高的動態過程，我們老師作為高中數學課程的直接建設者與有序引導者，應用題教學的課堂要“慢”下來，教師要善于“引導”、善于“等待”、善于“利用”學生主體，以學生的核心素養為發展核心，逐步提高學生的解題能力.

應用題是高中學生學習的重點，更是學習的難點，難在它的冗長的文字、復雜的數量關系、隱含的關鍵信息、難以建立的數學模型、關系式的數學處理、格式的規范表達等，這就需要我們數學教師對高中知識涉及的典型應用題進行梳理、對大綱考查的數學模型的情境及種類進行整理，對高中三年的應用題的教學按照所學的知識模塊順序制定一個總體、科學的規劃，分期、分階段逐步、分層實施.同時充分利用課堂這條傳授知識和方法的主渠道，引導學生學會思考，學會讀題、審題、提取信息；學會建模，學會數學解題，激發學生的主觀能動性，培養興趣和良好的思維習慣；提高學生克服閱讀的障礙，敢于閱讀、勇于審題、長于轉化、善于建模、樂于計算；再是教師要對每一節應用題的教案進行合理設計，著重理解和思維.如果這樣堅持下去，經過師生的共同努力，應用題就不再是學生的學習難點，反而會變成一個促進學生建模素養、運算素養等數學核心素養提高的一個落腳點.