數學探究課堂的實踐與思考

☉江蘇省通州高級中學 姚振飛

生命的河流往往會不分晝夜地奔向它理想的海洋，困難與挫折在它奔向海洋的過程中難免存在，就好比人的一生，不過，心存偉大理想的我們一定能夠克服困難與挫折并滿懷喜悅地直奔前方.如何正確引導青少年樹立遠大的理想是每個教師都應思考的問題，擔負著“傳道、授業、解惑”偉大職責的我們應在課堂教學中融入更多的人生哲理，幫助青少年學生在“現在學習，將來圓夢”的正確引導中展開學習并樹立人生理想.因此，我們應該引導學生走進開放、探究的課堂并在內驅力的促動下直奔前方.

孔子有云：“疑，思之始，學之竭”.問題的提出能使學生的學習興趣得到誘發并使其在閱讀與思考中獲得更加深刻的理解，使學生在自身理解與知識、經驗的結合之下順利構建有關數學問題，增強學生學數學、用數學的意識的同時促發其主動探究的意識.學生在自主探索獲得答案之后往往會建立與數學之間的親近感，充分感受學數學、用數學的實踐和體驗并逐步樹立起學好數學的自信心，這對于其實現遠大理想目標來說是極其有意義的.

一、實踐中體驗成功

事實上，學生與生俱來就具備一定的探究性學習的能力，只不過需要教師適時的點撥與啟發.學生在現實的數學活動中對數學知識、思想、方法形成理解與掌握需要教師的有益設計與引導，但這并不意味著教師的單純講解能夠起到多大的作用，這需要教師的精心設計與啟發并使學生在自主探究與合作交流中展開真正意義上的探究性學習.“做數學”是新課程理念中尤為值得關注的重大思想，這其實是對學生親身經歷數學、探究數學、體驗數學的重視和提倡.教材中的很多例題與習題蘊含著一些重要的數學思想方法與探究理念，教師若能對這些資源進行巧妙的設計與充分的利用，一定能將數學課堂建設成為適合學生展開探究性學習的舞臺.

例1已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，過點A作AE⊥CD，垂足記作E，現將△ADE沿AE折疊，使DE⊥EC.試在線段AE上找一點R，使面BDR⊥面DCB，并說明理由.

圖1

請高三即將參加高考的學生直接給出這一問題的答案是有一定難度的，但給予學生一定的時間進行思考，很多學生都表現得躍躍欲試.

生1：設AR=x，過點R作RK⊥DB，垂足為K，過點K作FK⊥BC，垂足為F，連結RF，則KF=FB=x，，在Rt△DKR中，根據勾股定理可得，因此R是AE上靠近A的一個四等分點.

師：這樣做的理由是什么呢？

生1：我們經常會運用數量來衡量并確定點的位置，因此我就想到建立數量關系并進行求解了.

師：這種解法將解決問題的目標意識很好地體現了出來，樹立解題目標之后，堅定地走下去就能實現目標.我們的青少年也要像解決此題一樣，樹立遠大理想并堅定信心地走下去.

生2：分析已知條件可以知道，點R滿足3AR=RE時，面BDR⊥面BDC.

圖2

證明：如圖2，取BD的中點Q，連結DR、BR、CR、CQ、RQ.

又在△CBD中，CD=CB，Q為BD的中點，所以CQ⊥BD.所以CQ⊥面BDR.所以面BDC⊥面BDR.

生3：過點C作CM⊥DB，垂足為M，過點M作MN⊥BE，垂足為N，連結CN，則CN⊥BR，則易得R為AE上靠近點A的一個四等分點.

生4：過點E作ES⊥CD，垂足為S，過點S作SQ∥BC，交BD于點Q，取ER=SQ，連結RQ，容易得出R為AE上靠近A的一個四等分點.

師：通過大家的共同努力和探究，我們發現了結論，也收獲了成功，由此可見，理想的實現是需要努力的，大家肯定在今天的學習中又一次理解了這一道理.

二、拓展中培養自信

在類比、引申、推廣中對問題進行拓展以及新的探究，能使學生在更深層次的探究中獲得基礎知識的鞏固，使學生的探索精神與創新能力得到鍛煉與發展并由此建立學習自信.比如以下一道習題.

筆者在此題獲得證明之后又進行了如下問題的設計與提出：如果將（2）中的條件進行適當的改變并對新問題的結論進行探求，是否可以將這一命題進行推廣呢？大家談談自己的思考.提出問題并給予學生充裕的時間進行思考，鼓勵學生對（2）中的條件進行自主思考與變更，對新問題的結論進行自主探索或推廣，最后請學生將自己的探究成果進行展示和解說.

師：大家勇于探索、敢于創新的精神令老師刮目相看，表現非常棒，老師相信大家在各自的成長道路上也一定會表現得越來越精彩.大家在自主探索和集體討論中對所得結論進行了新的推證并達成共識，這對大家來說是難能可貴的經歷.不過大家的討論有的對，有的錯，生1、生2、生5的證明是對的，生3、生4則錯了，大家能幫助這兩位同學進行修正嗎？

生6：生3的結論可以修改成：若f（x）=ax（a＞0且a≠1）都有

生7：生4的結論可以修改成：若f（x）=logax（a＞0且a≠1），對任意x1、x2∈（0，+∞），當a＞1時，有當0＜a＜1時，有

師：非常棒，那么我們在指數函數與對數函數的結論的比較上是否能夠得到什么啟發呢？大家能否抓住這一討論的契機進行規律的探尋和總結呢？

學生在一系列的探究與教師的啟發下得出以下凸函數的性質：如果定義在區間I上的函數y=f（x）為下凸函數，那么對任意x1、x2∈I，則有如果定義在區間I上的函數y=f（x）為上凸函數，那么對任意x1、x2∈I，則有

由此可見，理論聯系實踐的探究對于學生來說具有積極的意義，教師在實際教學中不能單純注重學生的模仿與記憶，而應創設出適合學生動手操作、自主探索與合作交流的平臺并以此促進學生的自主探究與學習，鼓勵學生結合自身的經驗、認知規律進行數學問題的探索與解決，使學生在觀察、探索、討論與研究中不斷積累豐富的感性認識，在不斷經歷的實踐感受中獲得認知、理解、辨析、解題、創造能力的長足發展.