如何在解題教學中培養(yǎng)學生的思維發(fā)展

☉甘肅省民樂縣職教中心學校 錢 沛

掌握數(shù)學即意味著解題者善于解決一些標準題以及一些要求獨立思考、思路合理、有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的題.揭開“條件”和“結(jié)論”之間的內(nèi)在聯(lián)系，并從“已知”的探索中導出“未知”的結(jié)論就是解題，解題思路正是在運用揭開手段以及探索技巧時的具體體現(xiàn).數(shù)學解題活動，這一借助數(shù)學知識來分析問題、解決問題的思維活動具有明顯的思維深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、廣闊性、敏捷性、批判性，數(shù)學思維活動的成果在數(shù)學解題方法的呈現(xiàn)中得到了具體的體現(xiàn).

筆者認為，發(fā)展學生數(shù)學思維的教學應從如下幾個方面設計與落實.

一、加強反思

學生對事物規(guī)律的認識往往能在其思維的深刻性上表現(xiàn)出巨大的差異.學生思維的深刻性是其有效解題的重要基礎.教師在具體的解題教學中應引導學生對解題過程進行積極地反思并因此促進其思維深刻性的發(fā)展.

設u=x2-x，則

從結(jié)論上來看，這一解題過程明顯不對，但學生對于錯在哪里卻始終摸不清頭腦.此時，教師可以引導學生對其解題過程中的每一步進行推理并重新思考.學生很快發(fā)現(xiàn)，解題時首先應確定函數(shù)的定義域：（0，1）∪（1，2］.接著根據(jù)得出，當u取最小值時y取得最大值，這是不夠嚴密的.因為函數(shù)在其定義域∪（0，2］上并不是單調(diào)遞減的，應對其進行分區(qū)間考慮才行，因此可得出函數(shù)的值域為當然，運用判別式法求值域也是可行的.學生在解題反思中也獲得了思維深刻性的鍛煉與發(fā)展.

二、突破思維定式

解題能力在數(shù)學學習過程中是思維的靈活性的具體表現(xiàn)，因此思維靈活性也是一種重要的思維品質(zhì)，學生一旦具備思維的靈活性就能夠在不同的解題思路中靈活轉(zhuǎn)化.學生形成思維定式的一般表現(xiàn)就是多次運用同一思維方式對同一類問題進行解題，在解題中一般都會作出習慣性的反應，而且不作新的探討.思維定式在學生運用同化的方式來發(fā)展其認識結(jié)構(gòu)時往往能夠表現(xiàn)出其積極作用的一面，教師在解題教學中引導學生舉一反三實際上就是充分發(fā)揮思維定式的積極作用的具體操作.思維定式在學生運用異化或調(diào)整的方式來發(fā)展其認識結(jié)構(gòu)時往往體現(xiàn)出其干擾作用的一面，教師此時應幫助學生克服思維定式的負面效應，并使其獲得思維靈活性的發(fā)展.

例如，試求拋物線y=4x2的焦點坐標.

有學生在二次函數(shù)知識的影響下往往會立即得出焦點為F（0，1），這明顯不對.這是在圓錐曲線的教學中出現(xiàn)的一題，學生的思維仍舊陷于二次函數(shù)的圖像中，教師應引導學生變換條件并將方程改寫為，進而迅速地得出焦點為

由此可見，教師關注題目條件的變更能幫助學生克服思維定式帶來的負面影響，并令其思維靈活性得到發(fā)展.

三、打破思維常規(guī)

學生在數(shù)學學習過程中能夠獨立思考、分析、解決問題并具有探索與創(chuàng)新的精神即為其思維獨創(chuàng)性的表現(xiàn).事實上，很多學生在解題時都會受到傳統(tǒng)解法的約束并表現(xiàn)出不能接受違反“常規(guī)”的解法的思想，很多學生在各類題目中僅僅滿足于解題成功的快感，而在解題技巧、解法探索上不能進行深刻的探索，解題速度緩慢也是普遍存在的弱點.教師應高度關注這些現(xiàn)象，以此引導學生對多種解法進行思考和探索，幫助學生在多種方法嘗試解題的過程中總結(jié)簡捷明快的解法，這也是培養(yǎng)學生創(chuàng)造力的有效手段.如果任由學生養(yǎng)成照本宣科、生搬硬套的解題習慣，定會令學生獲得題越做越死、思路越走越窄的學習感受，因此，教師在具體的教學過程中一定要幫助學生打破常規(guī)并使其思維的獨創(chuàng)性得到發(fā)展.

例如，利用一般解法求sin210°+sin250°+sin10°sin50°的值時，解法如下：

不過，教師如果能從三角函數(shù)的平方關系上引導學生進行解題的思考，就會有學生想到以下解法：

這種構(gòu)造對偶式求解的思路表現(xiàn)出了學生獨創(chuàng)性的解題思維.

四、優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)

引導學生從各個條件聯(lián)系的關節(jié)點上探索多種解題途徑能夠有效地培養(yǎng)學生思維的廣闊性.因此，教師應不斷引導學生對題目進行多角度、多方位的思考并促進學生知識結(jié)構(gòu)的不斷優(yōu)化，使學生在不斷加強知識點之間聯(lián)系的同時獲得思維廣闊性的發(fā)展.

例如，已知a2+b2=1，c2+d2=1，求證：|ac+bd|≤1.

這種從平方和的相等關系出發(fā)來探索乘積和的不等關系的題目對于解題者思維廣度的要求較高.大部分學生在證明此題時會運用到比較法、綜合法和分析法.教師可以引導學生對式子的整體結(jié)構(gòu)進行觀察并令其發(fā)掘題目中的隱含條件，促進學生思維發(fā)散的同時令其獲得其他的證明方法.有學生在一定的觀察、分析和聯(lián)想之后獲得了三角函數(shù)的證明方法：

因為a2+b2=1，c2+d2=1，因此可令a=sinα，b=cosα，c=cosβ，d=sinβ.

所以|ac+bd|=|sinαcosβ+cosαsinβ|=|sin（α+β）|.

因為|sin（α+β）|≤1，所以|ac+bd|≤1.

學生的思路在這樣的訓練中能夠得到有效的開拓，其學習興趣也會因此變得更加濃厚.

五、強化限時訓練

學生思維的敏捷性一般表現(xiàn)在其運算環(huán)節(jié)與推理過程的縮減上，高考對于學生全面掌握知識作出要求，對有限時間內(nèi)是否能夠迅速提取大腦所貯存的相關知識并加以綜合運用也提出了要求.

聯(lián)想正弦函數(shù)的有界性|sinθ|≤1即可使問題得到迅速地解決.

教師在具體的解題教學中應做到以下幾點來培養(yǎng)學生思維的敏捷性：（1）幫助學生熟練掌握基礎知識與技能；（2）教會學生預先思考并引導學生在教師講授過程中獲得一定的思路，使學生能夠有效地提取大腦中所貯存的知識并將其運用到具體的思維活動中；（3）精心設計限時作業(yè)并使學生在層次合理的訓練中提升作業(yè)效率.

六、加強錯題教學

學生在解題中能夠嚴格估計思維材料并精細檢查思維過程能令其更加準確地解題，這是學生在解題過程中的一種趨向與能力，具備較強批判性思維的學生往往能夠更好地發(fā)現(xiàn)自己的錯誤之處并尋得癥結(jié)所在，解題的正確率也會因此得到保證.

例如如下一題：已知a、b、c均不相等，且abc=0，a2=bc，b2=ac.求證：a+b+c=0.

參考答案如下：

證明：因為a2=bc，b2=ac，所以a2-b2=bc-ac，即（a+b）·（a-b）=-c（a-b）.

又a≠b，所以a+b=-c，a+b+c=0.

有學生在推敲后發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題設可以得出b、c同號且a、c同號，因此a、b、c同號，所以a+b+c≠0.跟題目要求證明的關系式相互矛盾.實際上，參考答案中體現(xiàn)出的推理并沒有錯誤之處，只因為原題本身是錯誤的.

很多學生的數(shù)學思維都缺乏一定的批判性，這是教師在具體教學中應該關注的.

當然，學生思維的發(fā)展不可能一蹴而就，教師在平日的教學中應不斷加強引導并從上述各方面落實符合學生實際的具體教學，使學生的思維在有的放矢的針對性教學中獲得全面發(fā)展.