借“微元”思想巧解電磁感應中非恒力作用問題

【內容摘要】高考物理全國卷經歷了兩年的調整已相對穩定。對考生的基本能力要求也在穩定的考核鞏固。數學知識是學習研究物理的核心工具，運用數學處理物理問題的能力是物理教學中對學生培養的重要能力之一。高中物理需必備的數學知識包括解方程、三角函數、極值求解、微積分初步等，物理習題的解決過程很好體現學生應用數學解決物理問題的能力。

【關鍵詞】電磁感應 非恒力做功 “微元”思想

高中物理知識體系，是一個從現象到本質，從特殊到一般的漸進過程，是符合學生認知的客觀過程。恒力作用的勻變速直線運動是初高中物理銜接的基礎，再過渡到曲線運動和能量。一般變力作用，高中階段較難處理，但利用微元單元和累加求和思想，可解決一些特定的非恒力問題。所謂微元法，是基于數學微分與積分知識，在“勻速”基礎上作拓展。

微元思想是將研究對象或過程進行無限細分，實現化變為恒、化曲為直。可以任選某一微小單元（質量微元、時間微元、位移微元、電量微元等），得到相關“微元”對象運動規律，再將這些“微元”規律累加求和，從而找到被研究對象或過程的具體變化規律。

“微元”思想的應用，能很好考查學生運用數學工具處理物理問題的能力， 能較好的把一般學生與優秀學生有效區分，有利于高校選拔人才，因此在高考物理中經常出現。

在以“電磁感應”為背景的題目中，因可綜合考查運動、能量、電路、電量等相關概念，把牛頓運動定律、歐姆定律、法拉第電磁感應定律、能量守恒定律、動量及動量守恒定律等，在高考中常以選擇題出現，也會以計算大題考查，因此該內容是高考復習的重點。模型常是單導體棒或雙導體棒在外力作用下，以某一初速度進入磁場，受安培力作用，在導體棒趨于某一穩定狀態過程中求運動時間、位移、速度，流過電荷量等，因安培力為變力而形成非恒力作用，可考慮用微元思想求解。

例1：如圖1，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導軌上端接有一平行板電容器，電容為C；導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面。在導軌上放置一質量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求：

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系；

（2）若金屬棒下滑過程中某時刻加速度大小為α，求此時金屬棒受到的磁場的作用力大小；

分析：導體棒下滑中，因不斷對電容器充電而形成不同的充電電流，從而使導體棒受變化的安培力作用，可用微元思想求解。

解：（1）略

（2） 設某時刻金屬棒的速度大小為v，經歷時間Δt，通過金屬棒的電流為Δi，金屬棒的速度變化量為Δν，流經金屬棒的電荷量為ΔQ。

運動中金屬棒受沿導軌向上的安培力： F=BLΔi，

由電流定義式：Δi=ΔQΔν，式中ΔQ為電容器在時間間隔Δt內增加的電荷量。

由加速度定義有：a=ΔνΔt

已由（1）問求得 ΔQ=CBLΔν

得金屬棒受到的安培力 F=CB2L2a

此題關鍵的應用微元法分析金屬棒的加速度，從加速度的定義式切入，應用牛頓第二定律、勻變速運動速度公式、感應電動勢E=BLν等求解。

例2：如圖2，兩平行的光滑金屬導軌安裝在光滑絕緣斜面上，導軌間距為L、足夠長且電阻忽略不計，導軌平面傾角為α。條形勻強磁場寬度為d，磁感應強度大小為B、方向與導軌平面垂直。長度為2d的絕緣桿將和正方形的單匝線框連接在一起組成“”型裝置，總質量為m，置于導軌上。導體棒中通以大小恒為I的電流。線框的邊長為d（d

求：線框第一次穿越磁場區域所用的時間t。

解：設線框剛穿過磁場區域時速度為ν1，之后在向下運動的2d受恒力，

由動能定理：mgsinα·2d-BILd=0-12mν12

時間微元Δt內，線框在磁場中運動的速度為νi，所受合力Fi=mgsinα-F安

感應電流Ii=εR=BdνiR

安培力F安=B Iid

在Δt時間內，有Δν=FmΔt

對上式求和，即：ΣΔν=Σ（gsinα-B2d2νmR）Δt

得：ν1=gtsinα-2B2d3mR

解得t=2m（BILd）-2mgdsinα+2B2d3Rmgsinα

綜上所述，導體棒在磁場中運動涉及安培力為非恒力時，可以選擇微元對象，利用動量定理、牛頓第二定律和法拉第電磁感應定律綜合求解。動量定理在時間微元內表達為BLΔi·Δt=mΔν，再對這段時間求和，由電荷定義式有q=I-·Δt=ΔΦΔt（R+r）Δt=ΔΦR+r=BLxR+r，從而得到BLq=m（νt-ν0） 和BLx=q（R+r）這兩個求非勻變速直線運動某時刻的速度、時間和位移的方法，因此復習中讓學生了解掌握微元思想很重要。

作者簡介：邱繼文（1972-），男，云南昭通人，中學物理高級教師，研究方向：高中物理教學.

（作者單位：云南昭通第一中學）