例析一次函數(shù)有關(guān)的三角形面積問(wèn)題

高健

摘 要?函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，將一次函數(shù)的圖象與三角形面積綜合在一起是多年來(lái)中考考查的重點(diǎn)題型。主要對(duì)初二階段學(xué)生所遇到的一次函數(shù)和三角形面積問(wèn)題及解決方法進(jìn)行了題型歸納總結(jié)，為解決此類問(wèn)題提供一些可借鑒的方法。

關(guān)鍵詞?初中數(shù)學(xué);一次函數(shù);三角形面積

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）04-0158-02

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，將一次函數(shù)的圖象與三角形面積綜合在一起是考查學(xué)生綜合核心素養(yǎng)和解決問(wèn)題能力的熱點(diǎn)題型，也是多年來(lái)中考考查的重點(diǎn)題型，它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想和整體轉(zhuǎn)化思想。解決這一類的問(wèn)題，學(xué)生應(yīng)理解點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義，會(huì)把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度，會(huì)把面積轉(zhuǎn)化為線段，坐標(biāo)，建立面積問(wèn)題、線段，坐標(biāo)之間的聯(lián)系。下面，筆者根據(jù)自身的教學(xué)實(shí)踐由一道題目出發(fā)進(jìn)行條件的變換，將一次函數(shù)的面積基本問(wèn)題進(jìn)行了題型歸類及方法的總結(jié)，大部分的面積問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為這兩類四種的基本題型來(lái)解決。

一、與一次函數(shù)有關(guān)的三角形面積基本模型

（一）一條直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積

1.已知解析式求面積

此情況下所圍成的直角三角形兩條直角邊落在坐標(biāo)軸上，它的長(zhǎng)分別是直線與軸、y點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，用此求出三角形的面積

例1：已知直線y=2x-2分別交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，則 △AOB的面積等于.

解：令x=0，可得B（0，–2），令y= 0，可得A（1，0），則S_△AOB = ×2×1=1。

2.已知面積求解析式

解決這類問(wèn)題有兩種方法：

（1）代數(shù)的方法，一般用方程去解決：帶著參數(shù)b表示出三角形的兩條直角邊，運(yùn)用方程來(lái)解決，過(guò)程中需要注意點(diǎn)的坐標(biāo)不確定象限的情況下線段長(zhǎng)度需要加絕對(duì)值

（2）幾何的方法：由給出的直線條件判斷直線的位置，比如已知k固定，b不確定就構(gòu)成了一系列的平行的直線系，找到里面符合條件的分類別求出來(lái).

例2：已知直線y=2x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，且△AOB的面積是9，求b的值

解：法一：令x = 0，可得B（0，b），令y= 0，可得，則，

這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y = 2?x + 6或y = 2?x – 6。

【點(diǎn)評(píng)】這種方法要注意與絕對(duì)值有關(guān)的分類討論思想，不可將OA示為，那樣會(huì)漏掉一種情況.

法二：觀察函數(shù)解析式，可知?jiǎng)又本€y=2x+b是一系列平行的動(dòng)直線，經(jīng)觀察和分析發(fā)現(xiàn)滿足條件的直線在原點(diǎn)O的上方下方各一條，分別分兩種情況來(lái)解決：

在原點(diǎn)O上方時(shí)：

，

這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y = 2 x + 6

同理，在原點(diǎn)O下方時(shí)，∵b<0?，∴b = -6。

這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y= 2x– 6。

（二）兩直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積

1.已知解析式求面積

例3：已知一次函數(shù)y= 2x- 2，y = - x +3與y軸相交于B，C兩點(diǎn)，求兩函數(shù)圖象與x軸圍成的三角形面積。

解：y= 2x- 2與y= -x+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：

B（0，-2），C（3，0）.

解得：

∴

2.已知面積求解析式

例4：已知直線y=2x-2交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在軸上，若S_△AOB = 2，求點(diǎn)P坐標(biāo)。

解：令x= 0，可得B（0，–2），令y= 0，可得A（1，0），①當(dāng)P在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖P1，△ABC的高為OB=2，所以AP=2，?P（3，0）。

②當(dāng)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖P2，△ABC的高為OB=2，所以AP=2，P（-1，0）.

變式1：已知直線y=2x-2交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線y=2x-2上，若S_△OBP=2，求點(diǎn)P坐標(biāo)。

解：令x= 0，可得B（0，–2），令y= 0，可得A（1，0），①當(dāng)P在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖P1， △ABC的底為OB=2，所以O(shè)B上的高為2，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，?P（2，0）.

②當(dāng)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖P2，△ABC的底為OB=2，所以AP=2，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，P（-2，0）。

這類題目的第三條邊是由一動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)構(gòu)成，兩道題目的不同之處在于，例4是已知高需要確定底，經(jīng)過(guò)改變條件的變式1是已知底需要確定高的長(zhǎng)度，兩者都是要將線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，根據(jù)象限不同有兩種情況，體現(xiàn)分類討論的思想。

二、基本模型在面積問(wèn)題中的應(yīng)用

平時(shí)遇到的所有有關(guān)一次函數(shù)與三角形面積問(wèn)題均可化為以上基本題型來(lái)解決，接下來(lái)可用三道典型例題來(lái)加以說(shuō)明.

練習(xí)1：已知一次函數(shù)y=x+2與x軸交點(diǎn)B，y軸交C，與正比例函數(shù)y=2x相交于點(diǎn)P，

（1）求兩直線與x軸，y軸形成的三角形面積;

（2）在x上是否存在一點(diǎn)A，使S_△POA=S_△POB，求出點(diǎn)有坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：

【分析】

第（1）問(wèn)是典型的例2，求交點(diǎn)坐標(biāo)，得三角形的高和底即可解決：

第（2）問(wèn)，只需求出的值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩直線一坐標(biāo)軸中變式例4。

練習(xí)2：已知直線y=x+3的圖象與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，一條直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與線段AB交于點(diǎn)C，把△AOB的面積分為2?：1兩部分，求這條直線的解析式

【分析】這道題目體現(xiàn)了分類討論的思想，存在兩種情況，然后問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩直線一坐標(biāo)軸的問(wèn)題來(lái)解決。

通過(guò)以上題目的歸納總結(jié)可以得出，一次函數(shù)所構(gòu)成的三角形面積問(wèn)題中，若能夠運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度直接求出來(lái)的三角形面積看作是過(guò)則圖形的話，我們把不能直接轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)度的為“不規(guī)則三角形”。規(guī)則的三角形分為兩類：

（1）有一條或者兩條邊是坐標(biāo)軸;

（2）至少有一條邊平行于坐標(biāo)軸。對(duì)于不規(guī)則三角形我們可以通過(guò)分割或者補(bǔ)形的方式讓它具備上面的其中一個(gè)條件，轉(zhuǎn)化為規(guī)則三角形來(lái)做。

轉(zhuǎn)化的三角形的面積是基本的面積模型，比較容易得出.因此，只需掌握在第一部分中介紹的兩大類，四種題型的解決方式，所有有關(guān)一次函數(shù)和三角形面積問(wèn)題題目都可用轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)為為基本模型去解決，解決問(wèn)題的基本程序是：

（1）確定是否為規(guī)則三角形，若不是，則用分割或者補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則三角形;

（2）確定交點(diǎn)坐標(biāo)（可用參數(shù)表示）?;

（3）求出有關(guān)線段的長(zhǎng)度;

（4）將有關(guān)圖形的面積化歸為與坐標(biāo)軸有聯(lián)系的幾個(gè)基本圖形的和差倍分，然后利用圖象與面積間的關(guān)系求解。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉美杰.與一次函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017.