“均值不等式”在橢圓中求最值問題

羊榮菡

摘 要?橢圓是圓錐曲線這一章節中的重要內容，在解答題中我們經常遇見與它相關的最值問題，其具有運算量大，綜合性強等特點.要解決這類問題往往將它轉化為求函數值域，一般利用函數單調性解，而均值不等式的應用，對解分式函數提供了另外一個途徑.本文以教學中遇見的實例加以說明。

關鍵詞?橢圓;最值;均值不等式

中圖分類號：O174.54，A 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）04-0200-02

在解析幾何解答題中經常會遇到一類分式函數求最值問題，我們通過一道例題來探討它的一般解法。

例：已知圓，圓，動圓P與圓M外切，與圓N內切，記動圓的圓心P的軌跡為C。過點的直線l與C相交于A，B兩點，求△AOB面積的最大值及此時直線l的方程。

解：由題知直線的斜率不為0，設直線為

所以面積的最大值為，此時直線的方程為。

思考1：實際課堂上，大部分學生做法有所不同，很多人不能解決問題。針對學生出現的問題，分析整理如下：

改變直線方程的設法①可得：

②與橢圓方程聯立得

此時，該如何求最值呢？先平方吧

探究一：接下來，觀察到分式的分子分母中出現x的齊次式，可采用分離常數

換元，令

從而，將分子中的參數t整體除到分母上（注意該參數能否為0，如果可以為0，需單獨考慮，此處，不再單獨討論）構造出應用均值不等式的結構特征。

分離變量和換元再用基本不等式求解是解決二次分式的常規方法。

探究二：利用均值不等式

思考2：在解法一中也可以用均值不等式簡化運算如下：

S_△AOB=× ??┃OQ┃×┃y₁-y₂┃

=

對分子應用均值不等式，正好可以與分母相約，達到求得最值的目的。

“積定和最小”“和定積最大”注意：

①均值不等式成立的條件（各因式或項都取正值）②合理尋求各因式或項的積或和為定值③確定等號能夠成立。不滿足上述條件時，要適當進行拆項。添項等變形。

參考文獻：

[1]歐陽志輝.橢圓中的最值問題[J].中學數理化，2007（03）.