彈性地基上受壓矩形納米板的自由振動與屈曲特性

滕兆春， 劉 露， 衡亞洲

(1. 蘭州理工大學 理學院，蘭州 730050；2. 江蘇興達鋼簾線股份有限公司, 江蘇 興化 225721)

隨著納米技術的發展，納米器件因具有微小尺寸、超高頻率、超低能耗以及優異的力學、化學、電子性能等重要特性，從而使微/納米機電系統(Micro-Electro-Mechanical System/Nano-Electro-Mechanical System， MEMS/ NEMS)成為電子產品中的核心組件，分析微/納米機電系統的力學行為是進行安全設計的前提。已有的實驗結果表明，基于經典連續介質力學的彈性理論不能準確地預測微/納米結構的力學行為，這是因為經典連續介質力學沒有考慮微/納米結構中的尺度效應。由Eringen[1]提出的非局部彈性理論彌補了這一缺陷，從而在研究物理和工程領域微/納米尺度結構的各種問題中得到廣泛應用。在已有基于Eringen非局部彈性理論的微/納米結構研究工作中，Reddy[2]分別采用不同的梁理論(Euler-Bernoulli、Timoshenko、Reddy和Levinson梁理論)研究了非局部效應對梁的彎曲、屈曲和自由振動的影響。Murmu等[3]采用Timoshenko梁理論并運用微分求積法(Differential Quadrature Method, DQM)分析了嵌入彈性介質中的單壁碳納米管的屈曲問題。劉燦昌等[4]研究了非局部效應對兩端固定納米梁的固有頻率以及主諧波共振響應的影響。Nejad等[5]研究了雙向功能梯度Euler-Bernoulli納米梁的彎曲問題。Jandaghian等[6]給出了壓電納米梁自由振動的解析解。Norouzzadeh等[7]基于積分模型的非局部彈性理論用有限元法研究了納米尺度Timoshenko梁的靜態彎曲。張大鵬等[8]基于非局部黏彈性理論，針對非局部阻尼Euler梁在非局部黏彈性地基上的振動特性問題進行了研究。Moosavi等[9]采用剪切變形環理論研究了納米環的振動問題。Behfar等[10]研究了納米尺度下多層石墨烯嵌入彈性介質中的振動行為。Pradhan等[11]分別采用經典板理論(Classical Plate Theory, CLPT)和一階剪切變形理論(First-Order Shear Deformation Theory, FSDT)分析了Winkler地基上四邊簡支納米矩形板的固有頻率特性，并給出了諸如石墨烯片納米板自由振動的解析解。Satish等[12]基于非局部連續介質力學并采用兩變量精細板理論研究了正交各向異性納米板的熱振動。Kumar等[13]應用非局部連續介質理論分析了嵌入在彈性介質中的石墨烯片的熱振動。陳玲等[14]研究了單層石墨烯納米板的橫向自由振動響應，應用納維解法得到四邊簡支納米板振動固有頻率的數值解，討論了小尺寸效應、納米板的三維尺寸和半波數對振動頻率的影響。最近，Ansari等[15]分析了一階剪切變形磁-電-熱彈性納米板尺寸依賴的屈曲和過屈曲問題，Despotovic[16]研究了體力作用下納米板的穩定性和振動問題。

納米板作為最基礎的結構元件在MEMS/NEMS中具有重要功能，如用作諧振傳感器、生物傳感器、原子力顯微鏡等。同時由于功能和結構的需要，正交各向異性矩形納米板也常見于MEMS/ NEMS中，深入分析其在面內荷載等多種載荷作用下的力學響應具有理論研究意義和工程實際應用價值。目前，Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板自由振動和屈曲的分析在國內外還鮮見有文獻報道，因此本文研究Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板自由振動和屈曲問題。首先基于Eringen非局部彈性理論和經典薄板理論，利用Hamilton原理推導Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性納米板自由振動和屈曲的控制微分方程并進行無量綱化；其次采用微分變換法(Differential Transform Method, DTM)將問題的無量綱控制微分方程及其邊界條件進行變換；再將問題退化后與已有文獻進行比較后結果一致；最后求解并探討了無量綱彈性地基系數、載荷參數、和納米尺度對臨界屈曲載荷的影響以及無量綱彈性地基系數、無量綱壓力強度、載荷參數、長寬和納米尺度對于矩形納米板自振頻率的影響。

1 控制微分方程及參數的無量綱化

考慮如圖1所示的正交各向異性矩形板，將其放置在均勻Winkle-Pasternak彈性地基上并建立圖示的笛卡爾直角坐標系。假定正交各向異性方向與x軸和y軸方向一致。板的尺寸為a×b×h且受到垂直于y軸截面上的面內分布力Ny=-N0(1-γx/a)，其中N0為x=0處的壓力強度，γ為載荷參數。這里用λ=a/b表示矩形板的長寬比，用kw，kp分別表示Winkler-Pasternak彈性地基的彈性剛度系數和剪切剛度系數，垂直于板面的位移分量為w。y=0和y=b處為簡支邊界(S)，其余對邊為簡支(S)或夾緊(C)邊界。下面在對納米矩形板四個直邊的邊界條件表示中，均按x=0，y=b，x=a和y=0處的次序給出。

圖1 Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板Fig.1 In-plane compressed orthotropic rectangular nanoplate resting on a Winkler-Pasternak foundation

為了導出正交各向異性矩形納米板自由振動控制微分方程，運用Hamiltion原理表示為

(1)

式中：t為時間；δ為變分符號；U，T和W分別為正交各向異性矩形板的應變能、動能和外力勢能，各量可表示為

(2)

(3)

(4)

式中：σx，σy和τxy為三個應力分量；εx，εy和γxy為三個應變分量；ρ為質量密度。

正交各向異性矩形板中面應變和內力分量為[17]

(5)

(6)

將式(2)～式(6)代入式(1)可得Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形板的運動方程為

(7)

由Eringen非局部彈性理論，在一點x處的應力不僅取決于該點的應變，也取決于連續體中該點附近點的應變。因此，對于均勻的線彈性體V在x點的非局部應力張量σij可表示為

(8)

式中：σij(x)為x點的應力張量；tij(x′)為任意點x′與線性應變張量εkl(x′)對應的宏觀(經典)應力張量；Cijkl為四階彈性張量；α(|x′-x|,μ)為非局部模量的核函數；|x′-x|為歐氏距離；μ=e0a0/l為依賴于內部和外部特征長度的無量綱參數，稱為納米尺度，其中e0為一個非局部的材料常數，a0為內部特征長度；l為外部特征長度。

二維情形下的非局部應力可近似表示為一個二階微分方程[18]

(9)

在二維形式的納米板應力應變關系為

(10a)

(10b)

(10c)

式中：E1，E2，G12分別為正交各向異性材料的三個彈性模量；v12，v21為泊松比。

由式(5)、式(6)和式(10)可得正交各向異性矩形納米板的彎矩和扭矩方程為

(11a)

(11b)

(11c)

式中：D11=E1h3/[12(1-v12v21)],D66=G12h3/12,D22=E2h3/[12(1-v12v21)],D12=v21D11=v12D22，為四個彎曲剛度。

式(11a)～式(11c)代入式(7)可得Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板的非局部運動方程為

(12)

正交各向異性矩形納米板的邊界條件在y=0和y=b處若只考慮為簡支(S)，板的橫向位移函數可取為

(13)

Ω2=[12ρ(1-v12v21)a2ω2]/E1H2,

N0*=[12N0(1-v12v21)]/aE1H3,

Kw=(1-v12v21)akw/E1,

Kp=(1-v12v21)kp/aE1

并由式(12)～式(13)可得Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板自由振動的控制微分方程為

(14)

其中，

μ2Ω2-12μ2Kw/H3-24μ2λ2m2π2Kp/H3，

12μ2λ2m2π2Kw/H3+12λ2m2π2Kp/H3+

又由彈性穩定性理論可知，結構失穩時的振動具有無限大的振動周期，其固有頻率為零[19]，則式(14)中若取Ω=0，則可得到計算Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板各階屈曲模態載荷的控制微分方程，其最小值即屈曲臨界載荷。至于在X=0和X=1邊界處，可為簡支(S)邊界條件或者夾緊(C)邊界條件，其無量綱形式表述為

簡支(S)

(15)

夾緊(C)

(16)

2 無量綱控制微分方程及其邊界條件的DTM變換

彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板自由振動和屈曲的無量綱控制微分方程式(14)為變系數常微分方程，一般情況下較難求得其解析解，這里采用微分變換法(DTM)[20-23]進行求解。DTM是一種能有效將線性或非線性微分方程(組)變換成代數方程(組)求解的半解析方法，它基于Taylor級數展開來求解微分方程，使用充分可微的多項式形式作為精確解的近似。經DTM變換，可將原微分方程(組)和系統邊界條件轉化為由離散函數構成的代數方程(組)，非常適合計算機編程進行求解。對于原函數f(x)，根據函數的Taylor公式，經過DTM變換后的函數F[k]定義為

(17)

F[k]的逆變換為

(18)

或者

(19)

在實際應用中，函數f(x)只考慮級數的有限項，式(14)可重寫為

(20)

式中：正整數r為Taylor級數的項數。通常情況下r的取值則取決于求解方程的收斂狀況和需要的精度。

運用DTM對Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板自由振動和屈曲問題進行求解時，首先需要將其無量綱控制微分方程和邊界條件經DTM轉化為相應的由離散函數組成的代數方程。這里用F表示式(14)中W經DTM變換后的離散值，則式(14)由DTM可變換為

B1F[k+4]+B2F[k+2]+B3F[k+1]+
B4F[k]+B5F[k-1]=0

(21)

其中，

B2=[-2λ2m2π2(2D66+D12)/D11+μ2Ω2-12μ2Kw/H3+

24μ2λ2m2π2Kp/H3](k+1)(k+2)，

12μ2λ2m2π2Kw/H3，

邊界條件變換為

在X=0處，簡支(S)邊界條件

F[0]=F[2]=0

(22)

夾緊(C)邊界條件

F[0]=F[1]=0

(23)

在X=1處，簡支(S)邊界條件

(24)

夾緊(C)邊界條件

(25)

將式(21)分別代入式(22)和式(24)，式(22)和式(25)，可分別求得四邊簡支(SSSS)和三邊簡支一邊夾緊(SSCS)的頻率特征方程為

(26)

(27)

要使式(27)有非零解，則

(28)

令無量綱固有頻率Ω=0，給定參數可以求解出臨界屈曲載荷Ncr。Ncr的求解過程類似于Ω的求解過程，同理可得

(29)

在對邊簡支對邊夾緊(CSCS)、一邊夾緊三邊簡支(CSSS)的邊界條件下，同理可求出含有未知量無量綱固有頻率Ω以及臨界屈曲載荷Ncr特征方程

(30)

(31)

由式(28)～式(31)，SSSS，SSCS，CSCS，CSSS邊界條件下的無量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr可求出。為了控制求出的無量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr的精度和研究其收斂性，則有

(32)

式中：η1，η2為迭代誤差限，這里取η1=η2=0.000 001。

3 計算結果與分析

通過編寫MATLAB程序可獲得由DTM求解Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板屈曲和振動特征值問題的臨界載荷Ncr和無量綱頻率Ω。為了驗證求解方法的正確性和精度，通過式(14)將原問題分別退化為各向同性矩形納米板和Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓各向同性矩形板。表1為λ=1，v=0.3，a=10 mm時SSSS邊界條件下各向同性矩形納米板的無量綱固有頻率Ωnm與文獻[24]的樣條有限條法(Spline Finite Strip Method, SFSM)的計算比較，結果一致。其中下標n=1,2,3,…,和m=1,2,3,…,分別表示板在x方向和y方向上振動的半波數。表2為m=1，v=0.3時CSCS邊界條件下各向同性矩形板臨界屈曲載荷Ncr與文獻[25]的計算比較，結果也一致。

在研究Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板自由振動和屈曲特性中，選擇一石墨環氧樹脂材料的正交各向異性矩形納米板進行計算。其材料參數[26]如下：vLT=0.23,EL=60.7 GPa,ET=24.8 GPa,GLT=12.0 GPa。式中：L，T分別為正交各向異性材料的縱向和橫向且表示意義與笛卡爾坐標軸一致。例如L/T方向表示各向異性材料的縱向與x軸一致，橫向與y軸一致；T/L方向表示各向異性材料的橫向與x軸一致，縱向與y軸一致。計算中以L/T方向為例：v12=0.23,D22/D11=0.408 567，D12/D11=0.093 970,D66/D11=0.193 421。

表1 各向同性矩形納米板的無量綱固有頻率Ωnm

表2 各向同性矩形板臨界屈曲載荷Ncr

圖2 不同邊界條件下前三階無量綱固有頻率Ω與Winkler地基剛度系數Kw的關系曲線Fig.2 First three dimensionless natural frequencies Ω vs the stiffness coefficient Kw of Winkler foundation for different boundary conditions

圖3 不同邊界條件下前三階無量綱固有頻率Ω與Pasternak地基剛度系數Kp的關系曲線Fig.3 First three dimensionless natural frequencies Ω vs the stiffness coefficient Kp of Pasternak foundation for different boundary conditions

圖4 不同邊界條件下一階無量綱固有頻率Ω與納米尺度μ的關系曲線Fig.4 First dimensionless natural frequencies Ω vs the nanoscale factor μ for different boundary conditions

圖5 不同邊界條件下一階無量綱固有頻率Ω與載荷參數γ的關系曲線Fig.5 First dimensionless natural frequencies Ω vs the load parameter γ for different boundary conditions

圖6 不同邊界條件下一階無量綱固有頻率Ω與長寬比λ的關系曲線Fig.6 First dimensionless natural frequencies Ω vs the aspect ratio λ for different boundary conditions

圖7 不同邊界條件下一階無量綱固有頻率Ω與X=0處無量綱壓力強度的關系曲線Fig.7 First dimensionless natural frequencies Ω vs dimen-sionless pressure intensity at X=0 for different boundary conditions

表3為λ=1,γ=1,m=1,μ=0.2,H=0.1，Ω=0時CSCS和CSSS邊界條件下正交各向異性矩形納米板的臨界屈曲載荷Ncr。由表3可知，臨界屈曲載荷Ncr的數值大小隨彈性地基系數的增大而增大。

表4為λ=1,m=1,H=0.1，Kw=0.02,Kp=0.002,Ω=0時在CSCS和CSSS邊界條件下正交各向異性矩形納米板的臨界屈曲載荷Ncr。表4中特別當γ=1.5，γ=2.0時，正交各向異性矩形納米板同時受拉和受壓，這樣存在兩個臨界屈曲載荷(一正一負)。由表4可見：當Kw，Kp，λ一定時，正的臨界屈曲載荷Ncr數值大小隨γ的增大而增大，但負的臨界屈曲載荷Ncr數值大小隨γ的增大而迅速減小；臨界屈曲載荷Ncr數值大小隨納米尺度μ的增大而減小。

表4 不同邊界條件下Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板的屈曲臨界載荷Ncr

4 結 論

本文基于Eringen非局部彈性理論和經典薄板理論，利用Hamilton原理推導了Winkler-Pasternak彈性地基上面內受壓正交各向異性矩形納米板自由振動和屈曲問題的控制微分方程并進行無量綱化，采用DTM求解并研究了納米板的自由振動與屈曲特性。將問題退化后與已有文獻進行比較后發現結果一致。考慮各參數對不同邊界條件下納米矩形板的自振頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr的影響。矩形納米板邊界條件考慮對邊簡支，其余兩邊可為簡支或夾緊任意組合，因此本文的分析過程能處理矩形納米板相對較多的邊界條件。主要結論如下：

(1)隨著彈性地基模量Kw和Kp的增大導致板系統的剛度增大，從而使得各邊界條件下正交各向異性矩形納米板自振頻率Ω增大以及臨界屈曲載荷Ncr增大。

(2)隨著納米尺度μ的增大，正交各向異性矩形納米板的自振頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr都減小，這是由于非局部效應使得納米結構的剛度減小，從而降低了板的自振頻率和臨界屈曲載荷。

(3)隨著載荷參數γ的增大導致了板系統受到垂直于y軸截面上的面內分布力Ny減小，從而使得正交各向異性矩形納米板的自振頻率Ω和正的臨界屈曲載荷Ncr都增大；但負的臨界屈曲載荷Ncr數值大小隨γ的增大而迅速減小。

(5)較強約束的邊界條件下自振頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr值較大，且在計算低階頻率值和約束較弱邊界條件下頻率值時收斂較快。