基于正負剛度并聯永磁隔振器的隔振性能分析及實驗驗證

李 強， 徐登峰， 李 林， 魏紹炎

(1. 武昌理工學院 信息工程學院，武漢 430223； 2. 清華大學 機械工程系，北京 100084)

在超精密測量、IC(Intergraded Circuit)制造、光學、醫學、高端物理和化學實驗中，需要高性能的隔振器抑制外界干擾帶來的影響[1-5]。盡管空氣隔振器具有良好的隔振性能，但使用條件受限，需要研發滿足新需求的隔振器。近年來，隨著稀土永磁材料的迅速發展，釹鐵硼永磁材料具有較強的剩磁、矯頑力和磁能積，許多學者利用永磁材料的這些特性進行永磁隔振器的研究，成為隔振器研究的新方法[6-8]。從現有的文獻可查永磁隔振器的固有頻率大約在5～8 Hz，隔振性能略差于現有的被動雙腔室空氣隔振器。然而，為了提高隔振器的隔振性能，在隔振器的研究中，諸多學者基于Platus的負剛度原理，采用正負剛度并聯方式是提高被動隔振器隔振性能有效的方法[9-14]。因此，本文基于Platus負剛度原理，提出一種正負剛度并聯永磁隔振器的新構型，永磁彈簧提供正剛度，橡膠帶提供負剛度，負剛度部分地抵消正剛度，降低永磁彈簧的剛度，提高該永磁彈簧的隔振性能。為了進一步研究該永磁隔振器的隔振性能，建立了橡膠帶拉力和剛度的解析模型，通過動力學方程對其隔振性能計算和分析，搭建了永磁彈簧和正負剛度并聯隔振器的實驗臺，分別將實驗結果與理論計算進行對比分析，獲得該正負剛度永磁隔振器的隔振性能及特點。

1 正負剛度并聯永磁隔振器的新構型及工作原理

采用一對環形永磁體與橡膠帶組合，提出一種新構型的隔振器，每個單元的內環形永磁體軸向磁化，外環形永磁體徑向磁化(內外環形永磁體等高，磁化方向用粗箭頭表示)，軸上呈現斥力，可支撐負載。在該隔振單元中，上下各三根橡膠帶，橡膠帶的兩端分別與永磁彈簧的內外磁環固接，如圖1所示。由該四個隔振單元(見圖1)組合使用，構成了一個正負剛度并聯的永磁隔振器，如圖2所示。

圖1 正負剛度并聯永磁隔振單元的結構Fig.1 The configuration of an MLVI unit

圖2 正負剛度并聯永磁隔振器Fig.2 The configuration of an MLVI

圖3為永磁環與橡膠帶的位置關系。圖4為其工作原理圖。二者的結構參數及相應的物理含義如表1所示。

圖3 一個隔振單元橡膠帶與永磁彈簧位置關系的四分之一剖面圖(粗箭頭代表磁環磁化方向)Fig.3 A quarter cross-section view of the relative position between the permanent magnet spring and the rubber ligaments of an MLVI unit (The arrow represents the magnetization of the permanent magnets)

圖4 一個隔振器單元橡膠帶與永磁彈簧的工作原理圖Fig.4 The schematic diagram of an MLVI uint

參數物理含義FR橡膠帶拉力FV磁彈簧軸向磁力KR橡膠帶剛度KV磁彈簧軸向剛度Ktotal一個正負剛度并聯隔振單元軸向總剛度L0橡膠帶初始長度θ橡膠帶與水平位置夾角L橡膠帶被拉伸后的長度

假設Ktotal為一個隔振單元的軸向(x方向)總剛度，KV為永磁彈簧軸向(x方向)剛度，KR為橡膠帶的剛度。由圖3(a)和圖4(a)可知，當內磁環的位置低于外磁環時，該隔振單元的軸向總剛度Ktotal可表示為

Ktotal=KV+KRsinθ

(1)

當內外磁環的上下端面對齊時，由圖3(b)和圖4(b)可得該隔振單元軸向總剛度Ktotal可表示為

Ktotal=KV

(2)

當內磁環位置高于外磁環時，由圖3(c)和圖4(c)可得該隔振單元的軸向總剛度Ktotal可表示為

Ktotal=KV-KRsinθ

(3)

式(1)為當內磁環位置低于外磁環時，永磁彈簧與橡膠帶的剛度方向相同，橡膠帶有增強永磁彈簧的軸向剛度作用；式(2)為當內外磁環上下端面對齊時，橡膠帶沒有被拉伸，軸向剛度為零，橡膠對永磁彈簧的軸向剛度沒有影響，隔振單元軸向剛度為永磁彈簧的剛度；式(3)為當內磁環的位置高于外磁環的高度時，橡膠帶在永磁彈簧斥力的作用下被拉伸，橡膠帶產生與永磁彈簧相反的剛度，能夠部分抵消永磁彈簧的軸向剛度，構成了正負剛度并聯的永磁隔振單元，降低了永磁彈簧的剛度，提高永磁彈簧的隔振性能。因此，以圖1和圖3(c)所示的結構及圖4(c)的工作原理圖展開該正負剛度并聯永磁隔振器的隔振性能研究。

2 橡膠帶垂直拉力和剛度的數學模型

2.1 橡膠材料Mooney-Rivlin模型本構關系

圖5為一個正負剛度并聯永磁隔振單元工作時橡膠帶拉伸的局部剖面圖，假設橡膠帶的初始長度為Lo，橡膠帶在磁力的作用下，被單向拉伸后的長度為L。假設橡膠是各項同性的，且不可壓縮的(I3=0)，Mooney-Rivlin給出了橡膠應變能函數

圖5 一個正負剛度并聯永磁隔振單元工作時橡膠帶拉伸的局部剖面圖Fig.5 A part sectioned view of a stretched rubber ligaments of the MLVI unit

(4)

其中,

(5)

I2=(λ1λ2)2+(λ2λ3)2+(λ3λ1)2

(6)

(7)

λ1=1+εi

(8)

式中：I1,I2,I3稱為變形張量不變量；λ1,λ2,λ3是三個方向的拉伸比。

由于橡膠材料的不可壓縮性， 式(4)中的I3=0，橡膠材料應變能的函數為

(9)

式中：W(I1,I2)為應變能函數；Cij為Rivlin系數。對于橡膠在小范圍的變形， 常用式(9)中關于I1和I2的線性應變能函數為[15-16]

W(I1,I2)=C10(I1-3)+C01(I2-3)

(10)

(11)

σ1=-p+2(C10λ2-C01λ-2)

(12)

σ2=σ3=-p+2(C10λ1-C01λ-1)=0

(13)

式中：p為靜水壓力，解出式(13)中的p，并代入式(12)可得橡膠在個拉伸比狀態下及對應的應力為

σ1=2(λ2-λ-1)(C10+C01λ-1)

(14)

式中：C10和C01為橡膠材料系數；λ為受拉方向的拉伸比。

2.2 橡膠材料系數的確定

為了確定式(14)中的系數C10和C01，將式(14)變形可得

(15)

(16)

圖6 橡膠帶的應力-伸長比曲線Fig.6 The curve of the stress-stretched ratio of the rubber ligament

圖7為式(16)的實驗和擬合曲線，從圖7可知，實驗數據和擬合曲線較吻合。因此，可采用式(14)估算橡膠帶在不同拉伸比時，橡膠帶橫截面上的應力，即

σ1=2(λ2-λ-1)(0.329 1λ-1-0.010 4)

(17)

圖與的實驗與擬合曲線Fig.7 The fitted curve of the rubber ligament

2.3 橡膠帶拉力和剛度的數學模型

(18)

圖8 橡膠帶拉伸圖Fig.8 The diagram of an arbitrary stretched rubber ligament

為了驗證橡膠帶拉力解析表達式的有效性，采用機床和傳感器對一個隔振單元橡膠帶的軸向拉力進行測試，測試裝置設計如圖10。該隔振器所用的單根橡膠帶的尺寸為110 mm×7 mm×1.5 mm，一個隔振單元橡膠帶拉力的測試如圖11。當機床主軸軸向每移動0.25 mm，記錄一次數據，進行5次實驗，求得其平均值，實驗曲線如圖9所示。

圖9 一個隔振單元橡膠帶軸向拉力計算與實驗曲線Fig.9 The comparison curves of calculation and experiment of the stretched force for an MLVI unit in vertical direction

圖10 橡膠帶拉力測試原理圖Fig.10 The schematic diagram of the experimental device of the vertical stretched force of an MLVI unit for the rubber ligament

圖11 橡膠拉力測試圖Fig.11 The test of the stretched force of an MLVI unit

從圖9可知一個隔振單元橡膠帶垂直方向拉力的計算值和實驗值之間有一定的誤差，誤差主要由以下幾個方面造成的：①Mooney-Rivlin公式中的常數C10和C01是通過橡膠拉應力實驗數據擬合得到的，可能存在一定的誤差；②一個正負剛度并聯隔振器單元橡膠帶拉力測試過程中，附加裝置的幾何主軸線和機床的主軸線沒有絕對重合，在實驗的過程中會產生一定的偏心，可能6根橡膠帶拉伸長度不一致，也會產生一定的誤差；③由于橡膠材料的不均勻性也可引起實驗值和理論值的誤差。因此，對于橡膠這種超彈性材料，可以用式(18)來估算該正負剛度并聯隔振單元單根橡膠帶的軸向拉力。

基于力與位移的關系，對式(18)軸向位移h微分可得單根橡膠帶垂直方向剛度的解析表達式

(19)

式(19)和式(18)中的參數具有相同的物理含義。圖12為一個正負剛度并聯永磁隔振單元橡膠帶的軸向剛度曲線。從圖12可知，橡膠垂直方向的剛度也是非線性的，橡膠帶垂直方向的拉力和剛度有相同的變化趨勢，均隨著內磁環軸向位移增加而增大。

圖12 一個正負剛度并聯隔振單元橡膠帶軸向剛度曲線Fig.12 The vertical stiffness of the rubber ligament of an MLVI

3 永磁彈簧軸向磁力和剛度的數學模型

對于環形永磁體的軸向磁力模型，Yonnet[17]給出了基本表達式，李強等進行了進一步研究，并給出了一對環形永磁體軸向磁力的解析表達式F(h)

(20)

表2 永磁彈簧的結構參數

圖13 永磁彈簧的軸向磁力Fig.13 The vertical magnetic force of a PMS

式(20)表明磁力F(h)是h的顯示函數，以h為變量，對F(h)進行微分可得其軸向剛度的解析表達K(h)

(21)

式(21)和式(20)中的參數有相同的物理含義，結構和性能參數如表3，圖13為一對環形永磁體的剛度曲線。從圖13和圖14可知，當內磁環的軸向位移趨近于零時，軸向磁力最大，剛度具有最小值，隨著內磁環軸向位移的增加，軸向磁力減小，但剛度是增加的。因此，本文以該永磁彈簧為基體，選取該永磁彈簧的承載能力最大，軸向剛度較小區域(0～5 mm)為工作范圍，研究其隔振性能。

表3 永磁彈簧和橡膠帶的結構參數

圖14 永磁彈簧的軸向剛度Fig.14 The vertical stiffness of a PMS

4 永磁彈簧和正負剛度并聯永磁隔振器的動力學計算與實驗

4.1 動力學計算與分析

該隔振器由四個正負剛度并聯永磁隔振單元和兩塊鋁板組成，永磁彈簧的外磁環固定在下支撐板上，內磁環通過附屬裝置固定在上支撐板上，負載在磁斥力的作用下被懸浮，在橡膠帶的作用下處于平衡位置。以地面的信號為輸入信號，上支撐板及負載振動為輸出信號，當地面的振動傳遞到隔振器上支撐板時，永磁彈簧和正負剛度并聯永磁隔振器均可等效為一個單自由度的永磁彈簧阻尼系統，動力學方程可表示為

(22)

式中：M為隔振器的承載能力；C為隔振器的阻尼系數；K為隔振器的剛度；y為隔振器的輸入信號(地面的振動)；x為隔振器輸出信號。

對式(22)拉式變換可得隔振器傳遞率函數為

(23)

若要計算該隔振器的傳遞率，則需計算阻尼系數C，承載能力M和剛度K。然而，該隔振器是一個弱阻尼系統，阻尼項包括橡膠阻尼、永磁體的渦流以及上支撐板和負載與空氣之間的摩擦，很難從理論上計算阻尼系數C，可采用半功率點來估算。

該隔振器承載能力可通過式(18)和式(20)計算

(24)

式中：m為一個正負剛度并聯隔振單元的承載能力；F(h)為永磁彈簧的磁力；F(h)RV為橡膠垂直方向拉力的分力； 與磁力方向相反，承載能力與內磁環的軸向位移的關系，如圖15所示。

表4 永磁彈簧和正負剛度并聯永磁隔振器的性能參數及實驗數據

圖15 一個正負剛度并聯永磁隔振單元的承載能力Fig.15 The vertical load capacity of an MLVI unit

同理，可運用式(19)和式(21)可得一個正負剛度并聯隔振單元的軸向剛度

K=K(h)-K(h)RV

(25)

式中：K為一個正負剛度并聯隔振單元剛度；K(h)為永磁彈簧軸向剛度；K(h)RV為橡膠剛度的垂直分量，其剛度曲線如圖16。從圖15和圖16可知，盡管橡膠部分抵消了永磁彈簧的軸向磁力和剛度，但在內磁環軸向位移為零時，該正負剛度并聯永磁隔振器的承載能力最大，剛度最小。

圖16 一個正負剛度并聯永磁隔振單元的剛度Fig.16 The vertical stiffness of an MLVI unit

4.2 實驗驗證

當地面的微幅振動被傳遞到隔振器的負載和上支撐板時，負載和上支撐板也作微幅振動。該隔振器的承載能力和剛度可以在其平衡位置進行線性化，作為一個研究事例，選取一對環形永磁體和橡膠帶的結構參數，如表3所示。通過式(24)和式(25)進行計算，如表4所示。同理，可用式(20)和式(21)計算永磁彈簧的承載力和剛度。由于永磁彈簧和正負剛度并聯的永磁隔振器均是弱阻尼系統，半功率點估算的阻尼系數，如表4所示。

為了驗證正負剛度并聯永磁隔振器的隔振性能，進行對比實驗，根據“4.1”節理論計算的結構參數，分別搭建永磁彈簧和正負剛度并聯永磁隔振器實驗臺，如圖17所示。同時，為了克服永磁體的不穩定性，在永磁彈簧隔振實驗中，在垂直方向采用空氣軸承作為導向裝置，將負載穩定在平衡位置，使其沿空氣軸承軸向運動，如圖17(a)所示。圖17(b)為正負剛度并聯永磁隔振器的實驗裝置，分別用HANDYSAM低頻隔振儀進行隔振性能測試。

4.3 實驗結果分析

從正負剛度并聯永磁隔振器的理論計算和實驗可以得到一下幾點結論：首先，從圖18可知該正負剛度并聯永磁隔振器的理論計算傳遞率和實驗測試的結果存在一定的誤差。一方面是由于橡膠材料的超彈性，不能精確的將內磁環控制在精確的理論計算位置；另一方面橡膠拉力和剛度模型中的Mooney-Rivlin參數C10和C01是擬合得到的，橡膠材料的不均勻性均可引起誤差的存在。其次，從圖18和圖19對比分析可得這種正負剛度并聯的方法對該隔振器的研究是有效的。橡膠帶提供與永磁彈簧方向相反的剛度，可部分抵消磁彈簧的剛度，降低了整個隔振器的剛度，提高了單一永磁彈簧的隔振性能。再次，采用該種永磁彈簧與橡膠帶進行隔振器的研究，該隔振器的優點在于承載能力最大時，剛度最小，固有頻率最低，對應的隔振性能最好。此外，采用該種方法進行永磁隔振器的研究，橡膠的拉力會影響永磁彈簧的承載能力，但削弱剛度，提高隔振性能是主要的，需要選擇二者合適的結構尺寸，獲得最佳隔振性能。而橡膠的歷史變形，工作溫度，使用時間、材料的差異和不均勻性均也可影響該隔振器的隔振性能，這將是下一步的研究。

圖17 隔振器隔振性能測試實驗Fig.17 The photograph of the vibration isolator table

圖18 永磁彈簧和正負剛度并聯永磁隔振器內環形永磁體分別在1～5 mm處理論與實驗傳遞率Fig.18 The comparison of the calculated and experimental transmissibilty of the PMS and MLVI with the inner ring in the range of 1 to 5 mm

圖19 內環形永磁體在1～5 mm內永磁彈簧和正負剛度并聯隔振器的實驗固有頻率Fig.19 Compared the natrural frequency of the PMS to that of the MLVI with the inner ring in the range of 0 to 5 mm

5 結 論

(1) 針對小負載使用隔振器的新需求，基于負剛度原理，提出了一種由橡膠帶和永磁彈簧構成的正負剛度并聯永磁隔振器的新構型。在Mooney-Rivlin的提出的橡膠本構關系模型的基礎上，建立了橡膠拉力和剛度的數學模型，對該隔振器的隔振性能進行理論分析計算，并通過實驗驗證了采用該種方法進行隔振器的研究是有效的。

(2) 本文提出的正負剛度并聯永磁隔振器的優點在于承載能力最大時，剛度最小，固有頻率最低，隔振性能最好。此外，此項技術的深入研究的成果還可拓展應用到航空、航天和軍事領域。

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(A-8)