品味數(shù)學(xué)教材?例談數(shù)學(xué)思想

摘 要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，而數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)的行為，是數(shù)學(xué)思想的具體反映。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是基礎(chǔ)知識的重要組成部分，這是對學(xué)生實施創(chuàng)新教育、培養(yǎng)創(chuàng)新思維的重要保證。

關(guān)鍵詞：整體思想;數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化思想

一、整體思想的應(yīng)用

數(shù)學(xué)中在解決一些計算或化簡求值等問題時，常常將一些數(shù)或式子看成一個整體進(jìn)行計算，使得計算更加簡便，這就是數(shù)學(xué)思維方法中的“整體思想”。

類型一 整體思想在方程組中的應(yīng)用

例1：解方程組

x+y=1? ? ①

y+z=2? ? ②

z+x=3? ? ③

導(dǎo)析：本題主要考查三元一次方程組的解法，但可根據(jù)題目的具體特點，采用簡單的方法求解，構(gòu)造（x+y+z）的整體是解題的關(guān)鍵。因為方程的左邊每個未知均出現(xiàn)兩次，三個式子相加后的2（x+y+z）=6，所以x+y+z=3④，再用④式依次減去①②③，可直接化三元為一元，從而得到方程組的解。

解：—，得x+y+z=3，④

④―①，得z=2，

④―②，得 x=1，

④―③，得y=0.

所以原方程組的解為

x=1

y=0

z=2

類型二 整體思想在整式求值中的應(yīng)用

方法歸納：在進(jìn)行條件求值時，可以根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征，合理變形，構(gòu)造出條件中含有的模型，然后整體代入，從而使復(fù)雜問題簡單化。

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想就是在研究問題的過程中，把數(shù)和形結(jié)合起來分析，把求圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為求圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。

類型一 數(shù)形結(jié)合思想在整式乘法中的應(yīng)用

例2：在邊長為a的正方形中挖一個邊為b的小正方形（a>b），再沿虛線剪開，如圖1，然后拼成一梯形，如圖2，根據(jù)這兩個圖形的面積關(guān)系，表明下列式子成立的是 （? ? ? ?）。

A.a2-b2=（a+b）（a-b）

B.（a+b）2=a2+2ab+b2

C.（a-b）2=a2-2ab+b2

D. a2-b2=（a-b）2

導(dǎo)析：圖1中陰影部分的面積表示為a2-b2，圖2的面積可以表示為—[（2a+2b）（a-b）]=（a+b）（a-b）。故有a2-b2=（a+b）（a-b）。

解答：A

類型二 數(shù)形結(jié)合思想在二元一次方程組中的應(yīng)用

例3：小明和小紅先后用8個同樣大長的長方形拼圖，小明拼成一個大長方形（如圖3），而小紅卻拼成一個正方形，中間還留下了一個邊長為2mm的小正方形（如圖4），你能算出每個小長方形的長和寬各是多少嗎？

導(dǎo)析：設(shè)小長方形的長為xmm，寬為ymm，從如圖3的長有兩種圍成方式，可得3x=5y;從圖4的邊長相等，可得2x+2=x+2y聯(lián)立得方程組。

解答：設(shè)小長方形的長為xmm，寬為ymm，依題意得? 3x=5y，? ? ? ? ? ? ? ?解得? x=10，

2x+2=x+2y，? ? ? ? ? ? ? ? ?y=6.

所以小長方形的長為10mm，寬為6mm。

三、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

轉(zhuǎn)化的思想方法在數(shù)學(xué)中非常重要，它是指把較難解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個較易解決的問題或已經(jīng)解決的問題。

類型一 轉(zhuǎn)化思想在解幾何問題中的應(yīng)用

例4：已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，則BED的度數(shù)是（? ? ?）

A.? 53°B.? 63°C. 73°D. 83°

導(dǎo)析：過點A作AF∥BC（如圖5），∴∠C= ∠CAF，∠CBE=∠EAF，∵∠C =26°，∠CBE=37°，∴∠CAE=∠EAF+∠CAF=∠CBE+∠C=37°+26°=63°，又∵AC∥ED，∴∠BED=∠CAE=63°。

解答：B

方法歸納：在平行線中，從折點出發(fā)作平行線是解決求角或證明角的關(guān)系題中常見的一種輔助線的添法，通過做輔助線，將所求角轉(zhuǎn)化為已知角來求解。

類型二 轉(zhuǎn)化思想在解方程組中的應(yīng)用

例5：? 解方程組：? 2x-y=6①，

x+2y=-2②，

解答：①×2+②，得5x=10，解得 x=2。將x=2代入①，得2×2-y=6，解得y=-2，所以原方程的解為x=2，y=-2。

方法歸納：解二元一次方程組的基本思路就是通過消元，實現(xiàn)由“二元”向“一元”“未知”向“已知”的轉(zhuǎn)化。

四、方程思想的應(yīng)用

方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立方程，然后通過解方程使問題得到解決的思維方式。方程思想的應(yīng)用主要分為兩種類型，如方程思想在幾何求角中的應(yīng)用以及方程思想在“三數(shù)”、方差中的應(yīng)用，其中以方程思想在“三數(shù)”、方差中的應(yīng)用舉例說明。

例6：已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，x，5，它的平均數(shù)是3，求這組數(shù)據(jù)的方差。

導(dǎo)析：先由平均數(shù)的公式求得x的值，再根據(jù)方差公式求方差。

解答：根據(jù)題意知—=3，解得x=4，方差S2=—[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2。

滴水穿石，非一日之功，要使學(xué)生真正具備靈活處理難題的思想，僅僅幾堂課是不能達(dá)到的。但是，只要我們在教學(xué)中提煉教學(xué)思想方法來深化課堂教學(xué)，將數(shù)學(xué)知識建立在數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的精髓，假以時日，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識就一定會日趨成熟。

參考文獻(xiàn)：

[1]張文林.例談數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)與解題中的應(yīng)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（14）：36-38.

[2]張海群，朱家榮.例談數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].成功（教育版），2011（10）：178-179.

作者簡介：胡躍平（1970—），男，湖南洞口人，一級教師，本科，研究方向： 初中數(shù)學(xué)教學(xué)。