例談在“幾何概型”教學中發展數學素養

福建省福安市高級中學 林 平

在整個高中數學體系中，統計概率是相對舊教材而新增的一部分，幾何概型是高中數學概率中的一個概率模型，它在教材中的作用是補充完善概率模型并為后續的隨機模擬做好鋪墊，這一部分將概率中的比值和幾何中的度量比值聯系在一起，這種跨分支的融合對很多學生來說是一大挑戰。數學課上，老師要教學生用符合數學學習規律的方法學習數學，鞏固數學的“四基”、發展數學的“四能”，從而在課堂教學這個主陣地上達到提升數學素養的目標。本文以幾何概型的教學過程為例，闡釋數學核心素養的發展立足于教學活動的開展中，以下對此做出說明。

一、在引入階段發展數學素養

引入：生活中遇到的隨機試驗都是有限個等可能結果嗎？還有哪些類型的隨機試驗？舉一些生活的例子。根據數學知識的自然生長和聯系生活來引入新知。從數學知識系統的完備性、方法系統的完備性的角度提出問題，說明新課學習的必要性。引入階段通過引發認知沖突的方式讓學生觸及知識的邊界，這樣的教學方法不僅有利于激發學生對學習數學的興趣，也有利于養成從邏輯上或從完善體系的角度來提出問題的習慣和弄清知識的來龍去脈的良好學習習慣。引入也通過學習老師的提問思考，提高學生提出數學問題的能力，為數學應用開辟新的領域，從而肯定數學應用價值。

二、在新課學習階段發展數學素養

新課學習設置問題串，師生互動。

【問題1】拋擲一枚骰子兩次，求兩次出現點數相同的概率。

問題1設置的目的是復習古典概型，作為新知的生長點，新課數學知識是建立在學生已有的知識基礎上。新課學習內容是適合學生學習的，實現新課與舊課之間的良好過渡，而不覺得突兀。

【問題2】試驗（1）：取一根長度為3 米的繩子，拉直后在任意位置剪斷。問剪得兩段的長都不小于1 米的概率有多大？試驗（2）：射箭問題。

問題2設置的目的是引發認知沖突，探求解決新問題的途徑。雖然基本事件的“等可能性” 類似于古典概型，但是由于無法表示公式中分子分母的基本事件個數，因此此路不通。

本題關鍵在于結合學過的映射知識理解為一個基本事件對應某區域內的一個點，實現由概率知識向幾何的轉化。用點表示基本事件，用圖形表示事件，這是數形結合，涉及概率和幾何跨分支結合，這里也是直觀想象素養在概率中的體現，留足時間讓學生去體會、去總結，讓學生去生成。概率與圖形（某個比值或比例）有關，計算方法隱藏在圖形中，學生在教師的啟發和指導下畫圖探索，終得答案，教師示范規范解答。問題（2）基于學生對隨機事件的均勻分布有直觀的感受和認識，學生能夠直觀地理解這種新型的概率。學生迅速補充完善自己的知識網絡和方法體系，消化吸收新知新法，在此過程中，學生初步積累了基本活動經驗，經歷從實際問題抽象成數學問題，到應用現有的知識方法分析并解決數學問題，再到解決實際問題，學生的數學建模核心素養再次得到發展。

【問題3】前兩問題中的基本事件有什么特點？兩個問題中的基本事件的區別是什么？（預設：前者的基本事件個數是有限的，而后者的基本事件個數是無限的）相信學生能獨立發現這兩者的本質差異。

【問題4】新的概率類型有什么特點？請給新的概率類型起個名字。

幾何概型的概念的生成。由學生總結新概型（幾何概型）的基本特點。（預設：每個基本事件出現的可能性相等；試驗所包含的基本事件個數是無限多）

在這一環節中，學生經歷剝離生活背景和實際問題，從中抽象出與概率有關的要素，根據一一對應關系把一個基本事件對應為圖形中的一個點。通過這種對應關系實現認識的升華，把概率和幾何知識自然聯系，從而理解了幾何概型的本質。這一環節學生收獲的不僅是數學基礎知識（一個數學概念），還收獲了解決此類問題的數學思想轉化與化歸（概率與幾何）。在這個過程中，學生數學抽象和直觀想象的素養得以進一步發展。

【問題5】如何計算幾何概型的概率？師生共同總結幾何概型的概率公式。預設：P（A）=構成事件A的區域長度（面積或體積）/試驗的全部結果所構成的區域的長度（面積或體積）。

通過總結分子、分母對應的幾何要素度量，經歷轉化與化歸思想在求概率中的應用。從概念的文字到形成數學的計算公式，這個過程是形象化、直觀化的過程。概念是邏輯思維的對象，相對抽象，而數學公式具有一個直觀形象的結構，它的記憶是直覺思維的對象，通過思維加工，發展的是學生的直觀想象素養。有了計算公式，解決幾何概型問題就有了強大的工具，在解決數學問題時這一步驟就快速而簡潔。只要找到對應幾何圖形就能解決問題，有力地促進了學生數學建模素養的發展。

【問題6】請分析這兩個概率模型之間的區別和聯系。

再次辨析相近的概念，在反復比較中深化對數學概念的認識，在解決概率問題前先要判斷概率模型，因此通過對比區別幾何概型和古典概型十分重要。

三、在應用實例環節發展數學素養

例1 一個學生欲從凱興小區公交車站點乘車前往閩東醫院站點，已知凱興小區站點發往閩東醫院站點的公交車20分鐘一班，求這個學生等車時間不多于5分鐘的概率。

設置例1的目的是教師部分放手，讓學生逐漸上手，即“扶著走一段”，逐步培養學生獨立完整的數學建模過程。教師只需伺機引導學生思考基本事件是什么和有什么特點，促進學生獨立分析、獨立解決問題。通過分析和必要的動手畫圖，實現由實際問題向數學問題的轉化，通過畫圖形象直觀地轉化為幾何度量問題，踏踏實實地發展學生自己的數學素養，同時，教師做好組織、引路和促進工作即可。在變式訓練環節，進一步放手發展學生素養，讓學生熟練數學建模過程，把知識技能思想升為數學能力輸出。學生獨立的過程需要時間，初次作品也許不完美，教師多鼓勵、多欣賞，學生才能更成功。學生反思階段總結，回顧重要步驟：①分析基本事件是什么、有什么特征，判斷適用概率模型；②表述事件A及對應幾何區域；③公式計算；④答。通過反思總結再現解題過程，凝練解題步驟，是培養建模能力、發展學生收斂思維、提升數學解題能力的好方法，絕不能省略。用數學語言對話和交流也是對活動過程的抽象與直觀再現，對親身經歷的思維反思有利于總結方法和經驗，形成有個人特色且印象深刻的記憶。

例2 配套練習、課堂小結等環節的分析（本文略過）。

通過這個案例可知，雖然有的幾何概型的題目有較深的生活背景，但通過學生在課堂學到的方法和聯系相關的幾何知識能夠化難為易，體會到數學的應用價值和學習的成就感。只要在每一節數學課的各環節中用數學的方法學習，就一定能發展學生的數學素養，日有所進。數學教師立足課堂，按照數學知識固有的發展規律精心設計教學過程，放手暴露學生的思維，在實際的教學中對學生的思維做出引導，讓學生能夠潛移默化地學習和進步，就能實現數學學科的育人目標。