應用數形結合思想，提升數學解題效率

江蘇省連云港市東海縣房山高級中學 陳文廣

相較于初中階段所學的數學知識，高中數學抽象性、復雜性的特點尤其明顯。對此，若將抽象性的問題直觀化、復雜的問題簡單化，學生們學習和理解相關知識的效率會大大提升。因此，在實際教學的過程中，教師可以引導學生們采用代數法將復雜的式子用通俗的解答方法予以轉化，采用幾何畫圖法在圖形中直觀地展現式子各部分的內在關系，也可以靈活地變換數與形，深層次地探究函數圖像之間的關系，從而高效地解答相關數學習題。

一、代數法，關注結構特點

代數法是數形結合思想中以數助形的應用過程，一般用于求解函數的值域或值、判斷函數單調性的過程，也應用于含有三角函數、不等式的解答過程，是高中數學中重要的解題方法。因此，在實際教學的過程中，教師應適時地為學生們引入代數法的求解過程，引導其關注結構特點，并在分析研究的過程中快速地予以解答。

由以上例子容易發現，高中數學中的許多習題乍看之下涉及了各種各樣的知識點，但仔細分析其式子的結構，再采用相對應的較為簡單的代數法進行解答，將數和形之間的對應關系靈活地運用起來，不僅可以有效地提高學生們的解題速度，也可以進一步地鞏固學生們對相關知識的理解，為后續靈活解答數學習題奠定堅實的基礎。

二、幾何法，展示內在聯系

以形助數也是解答高中數學題目的有效方法之一。實際解答的過程中，若是不能夠借助圖形特點予以解答，在遇到一些解答過程比較繁復的習題時，往往會花費大量的時間，解答的結果也不一定正確。對此，教師引導學生們結合不同題目中涉及的圖像特點，在揭示其內在聯系的過程中，解答題目就會變得事半功倍。

比如：已知|x-3|+|x-4|＜a的解集是空集，則實數a的取值范圍是多少？本題中需要求解a的取值范圍，觀察題目我們可以發現，若采用代數法解答，解答的過程會十分繁復，出錯的幾率也比較高，這時，我們可以結合函數圖像的特點來研究這道題目。首先，我們構造函數，使得f(x)=|x-3|+|x-4|、g(x)=a，緊接著，我們將題意進行延伸，即使函數f(x)的圖像比函數g(x)的圖像高，如圖1所示：

圖1

分析圖中的幾何關系，我們可以直接得出a的取值范圍，即：a≤1。

由此可見，運用幾何法解答此類數學習題時，不僅能夠將題設條件直觀地展示到學生們面前，還能夠讓學生們在分析題目特點的過程中進一步地理解函數圖像的性質，把握數形結合的內涵，為數學解題能力的提升奠定基礎。

三、變換法，探究函數圖像

數形結合思想在高中數學中得到許多師生的青睞，還有一個重要的原因便是數與形之間的變換是多種多樣、妙不可言的。因此，在高中數學教學的過程中，教師巧妙地運用數形結合變換法，能夠促進學生們對相關知識的理解和應用，也能夠使得學生們在更加直觀的體驗中感受高中階段不同的函數圖像之間的差異以及各個圖像中蘊含著的數學意義。

比如，復雜函數是高中數學教學的重要內容，不僅要求學生們能夠掌握幾種函數的基本概念和性質，還要求其在解答綜合習題時能夠快速解答，這時就需要數形結合變換法來配合。例如解答以下習題：已知0＜a＜1，求方程a|x|=|logax|實數根的個數。觀察此題目，我們可以發現，本題涉及指數函數和對數函數兩種函數，想要求出方程實數根的個數，就得分析兩種函數圖像的交點有幾個，這時，我們就得將兩種函數的圖像分別畫出來，在圖形中找到相交的點，從而分辨方程實數根的個數。在繪圖的過程中，需要學生們靈活地運用這兩種函數圖像的特點。

實際解題的過程中，學生們將會遇到許多類似的題目，若是想要高效、準確地予以解答，不僅要求學生們掌握各種函數的性質和特征，還要求學生們能夠靈活運用，在分析函數圖像的過程中準確地解答相關習題。

總而言之，數形結合思想是高中數學教學過程中重要的教學思想，在高中數學解答的過程中扮演著重要的角色。因此，高中數學教師在初期函數圖像、性質的教學過程中，就應當引導學生們關注“數”與“形”之間的關系，為后續數形結合在解題過程中的應用打好基礎。