謀定而后動
——挖掘特性，巧求線段最值

江蘇省阜寧縣北汛初級中學 蔡子洋

作為初中數學中的大篇幅——幾何圖形，在初中數學中頻繁出現，綜合性也比較強，常常結合數形結合、分類討論以及轉化思想等數學思想去考察，對應著解決這類問題的方法也比較多。本文將引領學生們去挖掘定量因素，巧求線段的最值，打開學生的思維之門，提高解題的效率。

一、謀定點線，打開思維

學生們經常會在幾何圖形中遇到點、線按照某些條件在運動，表面上看，這些點或者線在不斷地變化，但是如果學生們能靜下心來仔細觀察，認真思考，準確地抓住其中不變的點或者線，結合“兩點之間線段最短”或者“垂線段最短”等定理，棘手的問題往往會迎刃而解，這也是打開思維的突破口。因此，學生們在解決線段最值的問題中，要試著去找尋定點、定線，巧妙地解決問題。

例1：如圖1所示，邊長為4的正方形ABCD，E是BC邊上的中點，F是直線DE上的動點，連接CF，將線段CF繞點C逆時針旋轉90°得到CG，連接EG，則在點F的運動過程中，求EG的最小值。

圖1

圖2

點撥：此題是典型的幾何圖形點運動類題型，本題的關鍵點就是將求EG的最小值轉化成求線段MF的最小值，運用轉化的思想，借用“垂線段最短”這個定理準確解題。因此，欲求線段最小值，學生們一定要想到“兩點之間線段最短”或者“垂線段最短”等定理，謀定而后動，巧求最值。

二、巧添輔助，“圓”來如此

在初中數學中，垂直關系是初中數學重點研究的對象之一，出題者也是在借助兩線垂直的特殊關系來挖掘圖形中蘊含的最值問題。因此，學生們在求解這類問題時就可以從關系入手，結合題目條件以及圖形的特征等來構造添加輔助圓，這是解決此類問題的有效方法之一。

例2：如圖3所示，E是正方形ABCD的邊AD上的動點，過點A作AH⊥BE于 點H。若正方形的邊長為4，則線段DH的最小值是多少？

圖3

圖4

點撥：本題中通過構造輔助圓，巧妙地化解了線段的最小值問題。本題中，若存在垂直關系，可以通過構造輔助圓，基于“兩點之間線段最短”的定理化解棘手的問題。

三、固定角度，明確方向

在初中數學中，學生們在求解幾何圖形問題時有時候會遇到有關角度的問題，這類問題也比較活躍，往往能考查學生們的思維。其實在帶有角度的求線段最值問題也有相應的解題策略，就是利用固定角去求解，明確角的方向，也會發現其中的奧妙，這也是解決線段最值的一把金鑰匙。

圖5

點撥：在本題中，解題的關鍵點就是找尋了一個固定的角度，即∠EAF，結合圓的知識，巧妙地求解了線段的最值問題。因此，學生們要記住，在遇到角度問題的時候，可以想著往固定角度的方向去突破思維，找到解題的切入口。

總之，在求解初中數學中幾何圖形下的線段最值問題時，學生們一定要認真思考，想到上述解法，本文中講解到的只是些許，還有更多的解題策略與方法，需要學生們在解題的過程中不斷地探索與總結，找出題中的定性信息，合理運用這些定性信息，謀定而后動，就可以巧妙地求解出線段的最值。