數形結合解選擇題常見驚喜

廣東省珠海市藝術高級中學 羅興文

“數”和“形”是數學大廈的兩塊基石，兩者在內容上相互聯系，在解題方法上相互滲透，在特定的條件下相互轉化，“數形結合法”就是在這一學科特點下發展起來的。應用“數形結合”解題就是對題目中的條件和結論既分析其代數含義，又分析其幾何含義，力求在代數與幾何的結合中尋找解題思路，它是觀察推斷問題的一條非常重要的捷徑。

一、數形結合解決幾何概型有關問題常見驚喜

例1 甲、乙同學約定在校門口會面，假定他們都將在12:00～12:30這段時間內的任意時刻隨機到達校門口。甲說：我最多等你5分鐘，看不見你來我就走人。乙說：我也最多等你5分鐘，看不見你來我就走人。假設兩人到達校門口互不影響，且沒借用任何通訊工具，問甲、乙兩人在校門口相會的概率為（ ）

二、數形結合解決平面向量有關問題常見驚喜

【類題通法】解決向量問題的常見兩種方法：（1）幾何法，即幾何的觀點，利用向量合成予以解決；（2）代數法，即代數的觀點，通常用坐標法予以解決。兩類方法都借助數形結合思想，化抽象為具體，解題明快。

三、數形結合解決鑲嵌函數有關問題常見驚喜

例3 用min{a,b,c}表示a,b,c三個數中的最小值，設f（x）=min{2x，x+2，10-x}(x≥0)，則f（x）的最大值為（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

【類題通法】鑲嵌函數是一類特殊函數，常以min{a,b,c}和max{a,b,c}形式呈現。解決此類題型只需借助信息，利用數形結合思想將鑲嵌函數問題轉化為幾個分段函數的圖像，問題就變得明朗，易于理解和接受。

四、數形結合解決立體幾何中與函數有關問題常見驚喜

例4 如右圖，已知正四棱錐S-ABCD的所有棱長都為1，點E是側棱SC上一動點，過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記SE=x(0＜x＜1)，截面下面部分的體積為V(x)，則函數y=V(x)的圖像大致為（ ）

【類題通法】立體幾何中與函數交匯的問題，處理常見兩種策略：（1）引入變量，由變量減的函數關系刻畫，確定對應的解析式；（2）確定解析式方法煩瑣，計算復雜，只需做定性分析，就能快速解決。兩種策略中“數與形”的轉化達到極致。

五、數形結合解決解析幾何有關問題常見驚喜

【類題通法】在解析幾何的解題過程中，通常要數形結合，使數更形象、更直白地得以表達，充分利用圖像的特征，挖掘題中所給的代數關系向幾何關系轉化，避免煩瑣的計算。幾何意義是實施數形結合的關鍵，常見的幾何結構的代數形式有：（1）定義法；（2）比值考慮轉化為直線的斜率；（3）二元一次考慮轉化為直線的截距；（4）根式考慮轉化為兩點間的距離；（5）根式分式考慮轉化為點到直線的距離。

六、數形結合解決線性規劃有關問題常見驚喜

A.[6，15] B.[7，15] C.[6，8] D.[7，8]

【解題分析】作出可行域，由3≤x≤5，發現目標函數Z=3x+2y的最大值隨x的變化而改變。（1）當x=3時，目標函數Z=3x+2y過點M，此時可行域為四邊形；（2）當3＜x＜5時，目標函數向右上方移動，可行域仍然為四邊形；（3）當x≥5時，可行域由四邊形變為三角形。

圖（2）中，當目標函數過（0，4）時，Zmax=3×0+2×4=8。

綜上所得：Zmax∈[7，8]。故選D。

七、數形結合解決方程根（函數零點）有關問題常見驚喜

A.5個 B.6個 C.7個 D.8個

【類題通法】由零點定理可知，函數的零點等價于方程的根，等價于函數圖像與x軸交點的橫坐標。數形結合思想將三者緊密聯系起來，彼此相互轉化。由此可見，數形結合是聯系三者的紐帶，它能將所研究的問題抽象變形象，不論是求函數零點或方程的根，或已知零點，確定參數取值范圍等，都能得以解決。

“以形助數”和“以數助形”是數形結合思想的靈魂。以形助數，揭示形中數的本質；由數助形，利用形的直觀性開拓解題思路。即常說的代數法和幾何法。代數方法解答過程嚴密、規范、思路清晰；幾何方法具有直觀、具體、形象的優勢。在解決有關問題時，數形結合思想所表現出來的思路上的靈活、過程上的簡便、方法上的多樣化是一目了然的，它為問題的解決提供了多條通道，使靈活性、創造性的思維品質在解題中得到了更大限度的發揮。在具體應用中應揚兩種方法之長，避呆板單調解法之短，做到左右逢源，游刃有余。