關于高中數學中恒成立問題的分析

卞晗之 夏爽

摘 要 代數中的恒成立問題對于高中學生來說，是一個很重要的必考知識點。以函數知識為基礎，內容涉及一次函數、二次函數、圖像等，需要采用換元、數形結合等多種方式進行解題，非常考驗思維能力。因此，在遇到恒成立問題的時候，要先分析題目，找到最適用的解題方法來快速得出答案。文章對高中數學恒成立問題進行分析，探討典型的解題思路和分析解題技巧，以此來提升對恒成立問題的理解和掌握。

關鍵詞 高中數學;恒成立;解題思路

中圖分類號：G32??????????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）12-0151-02

恒成立的問題是高中數學中綜合性最強的難點，解題所要涉及的知識面十分的廣泛，特別是解題中涉及不等式、數列、函數等方面，都是高考的重點。恒成立的問題如此難解，主要是因為其形式多變，沒有固定的解題方法，很多同學遇到此類題目會比較茫然，不知從何下手。文章主要介紹了筆者在遇到這類問題的解題思路，拋磚引玉，為大家提供一些解題思路，希望同學們在數學成績上有所突破。

一、探究高中數學中恒成立問題的解題方法的重要性

筆者在學習數學的過程中，發現恒成立問題的題目模式主要是有關函數的知識點，題型特點是在已知的條件下，非局限性的變量不管如何改變，題目的結果和命題都是成立的。所以，在解決恒成立問題的題目時，思維不能被固化，要從抽象的角度去理解和分析其中的變量。老師曾說出卷者設計此類模式題目的目的是為了提高學生的創新思維能力，考查同學們對邏輯性問題的思考能力，也可以激起同學們對于勇于挑戰高難度數學的興趣。因此，同學們需要通過培養邏輯思維能力，采用多元的解題方法，才能做到充分有效的掌握恒成立問題的解題思路與方法。

二、高中數學中關于含參不等式恒成立問題的分析

數學不等式恒成立中的一個重要形式就是函數。解決含參不等式恒成立問題，首先要解決定義域以及值域的問題，關鍵是判斷給定的定義域是否在函數中恒成立，在恒成立的基礎上確定參數的取值范圍，從而對于所求的不等式進行證明。對于含參不等式恒成立問題通常采取代數法（分離參數）以及幾何法（數形結合）進行證明。關于含參不等式恒成立的題型通常都會涉及到兩個參數，而題目本身提供一個已知的參數，通過已知的參數結合函數來對第二個參數的范圍進行求解。求解參數的范圍即求解參數的最大值和最小值，存在參數m的情況下，通常在求解過程中都需要進行分類討論，一種方法是通過畫出函數的圖像，結合函數的性質結合考慮，這種方法過程比較復雜，需要依靠比較強的邏輯思維能力。所以在一般情況下，首選分離變量法來對含參不等式恒成立問題的解答。以下詳細介紹分離參數法以及數形結合法。

2.1分離參數法

2.2數形結合法

如果給出的函數題型中，含參不等式中參數與主元不易分離，并且對不等式進行巧妙地變型，使得變型后地函數很容易挖掘出函數的圖像，并根據圖像所表達出的幾何意義來解決恒成立問題，這種解決問題的方法對于一些題型非常有效。首先，將復雜的含參數不等式函數經過變型成基本的初等函數，構造出相應的圖形，以觀察圖形之間的關系。解題的思路是從圖形的邊界處著手，從而確定參數的范圍。以下舉例進行證明。

三、函數構造法解決數學中恒成立問題

3.1構造一次函數法

在恒成立問題的題型上，有些沒有那么的復雜，即可以化為一次函數的類型來進行計算，及構造成一次函數，則是以圖形結合的邏輯思維來進行一次函數的計算，此方法非常的便捷，也更加容易計算。

y=f（x）=ax+b（a≠0）

若y=f（x）在[m，n]上，f（x）>0

則f（m）>0，f（n）>0

題中有兩個變量的字母：x和a，要先將其中一個變量字母當做一個常數，可有利于計算。顯然題中可將a當為自變量，則可將此類型的問題轉化為[-2，2]內的關于a的大于0的恒成立問題上的一次函數^[5]。

解：原不等式可轉換為（x-1）a+x-2x+1>0在a≤2時恒成立

設f（a）=（x-1）a+x-2x+1

F（a）在[-2，2]上>0，則f（-2）>0，f（2）>0，即x-4x+3>0，x-1>0

解得：x>3，即x滿足[-∞，-1]和（3，+∞）