對(duì)稱軸在二次函數(shù)中的妙用試論

錢瑞玲 楊平

摘 要 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的一環(huán)，二次函數(shù)的圖象是拋物線，是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，本文就對(duì)稱軸在二次函數(shù)中的應(yīng)用作如下講解。

關(guān)鍵詞 對(duì)稱軸;二次函數(shù);作用

中圖分類號(hào)：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2019）11-0198-01

二次函數(shù)的圖象是拋物線，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是過(guò)頂點(diǎn)且平行于y軸的一條直線.對(duì)稱軸方程有以下幾種形式：

例1：拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），其部分圖象如圖1.則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（?? ）

分析：根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性可知，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，利用對(duì)稱軸公式，可得與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）.

例2：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-3），其對(duì)稱軸是直線x=1，且該圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為4，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

分析：因?yàn)閽佄锞€與x軸兩交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且這兩點(diǎn)之間的距離為4，所以可知兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）（3，0），如圖2.可由交點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-3），再將點(diǎn)（2，-3）代入解析式，求得a的值為1，則函數(shù)解析式為.

妙用二、利用對(duì)稱軸比較函數(shù)值的大小.

例3：若，是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，則，的大小關(guān)系是（?? ）。（用“>”連接）

分析：由頂點(diǎn)式可知，拋物線的對(duì)稱軸是，點(diǎn)A、B在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸右側(cè)，三個(gè)點(diǎn)分布在對(duì)稱軸兩側(cè)，可以利用點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化到對(duì)稱軸左側(cè)，這樣三個(gè)點(diǎn)都在對(duì)稱軸同側(cè)，再利用增減性比較函數(shù)值的大小.

如圖3，點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是，拋物線開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，∵-2<-1<0， .

例4向上發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時(shí)間與高度關(guān)系為，若此炮彈在第7秒與第14秒時(shí)的高度相等，則在下列時(shí)間高度最高的是（?? ）

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

分析：先畫(huà)出草圖，如圖4，因?yàn)榇伺趶椩诘?秒與第14秒時(shí)的高度相等，所以利用中點(diǎn)公式可求出拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線開(kāi)口向下，離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)越高，10離直線x=10.5有0.5個(gè)單位，12離直線x=10.5有1.5個(gè)單位，因此第10秒炮彈的高度最高.

妙用三：利用對(duì)稱軸求函數(shù)值.

例5：若點(diǎn)均在拋物線上，當(dāng)時(shí)，y=（?? ）

分析：如圖5，由點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)不同可知，點(diǎn)A、B是關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的，因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是y軸，所以互為相反數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，y=2.

例6：已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量x取兩個(gè)不同的值時(shí)，函數(shù)值相等，求當(dāng)自變量x取時(shí)的函數(shù)值。

分析：如圖6，當(dāng)自變量x取兩個(gè)不同的值時(shí)，函數(shù)值相等，說(shuō)明橫坐標(biāo)是的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，它們關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為直線，而橫坐標(biāo)是的點(diǎn)和拋物線與y軸的交點(diǎn)（0，-3）恰好也關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以當(dāng)自變量x取時(shí)的函數(shù)值也是-3.