應用技術類本科《復變函數》教學的幾點探討

崔漢哲

摘要：《復變函數》是應用技術類本科院校各理工科專業的重要專業基礎課。授課教師在教學中若能結合應用技術類院校的自身特點安排課堂教學重點，并在教學中緊密聯系先修的數學課程，則可顯著提高本課程的教學質量，達到良好的教學效果。

關鍵詞：復變函數 實變函數 微積分

一、引言

復變函數作為高等數學中分析學的重要組成部分，和幾何、拓撲、數學物理等其它數學分支有非常緊密的聯系。作為數學工具，它在物理、自動化、系統分析、信號處理等學科與領域中也有廣泛而重要的應用。因此，它是我國各類高校理工科專業的一門重要的專業基礎課。而我國的高等教育經過數十年的大發展后，已形成了梯度式不同層次的高校隊伍。其中，應用技術類本科院校在校學生人數多、分布范圍廣。在這類院校中如何結合自身特點，教好復變函數這門課程，是一個很有實際意義的課題。

二、以應用技術類為特點合理安排課堂教學的重點

應用技術類本科院校有別于綜合性大學或師范類院校，所設置學科專業多偏重實踐和應用。而《復變函數》作為各理工科專業的專業基礎課，其主要目的也在于為學生在《微積分》、《線性代數》等公共基礎課后，提供進一步專業學習的數學工具。這就決定了，在應用技術類本科《復變函數》的教學中，在學生掌握基本的復變函數理論后，要將教學重點放在如何將理論應用于專業學科的實踐中。具體而言，對那些在后續的專業課程中經常用到的定理、公式、方法，教師應作為教學重點，多舉實例、講細講透。而對于那些理論上比較重要，但在各自專業的具體實踐中未必發揮太大實際作用的內容，為數學理論的完整性起見，確需完整講述，但其中的某些技術細節，則未必需要在課堂上詳細推導，而可作為學有余力學生的課外自學內容。

例如，留數定理在電氣自動化、電子信息等學科的專業課程如《積分變換》、《信號與系統分析》中起著重要作用，是計算各類積分逆變換的主要方法。而留數定理以復變函數的級數理論為基礎。為了應用留數定理，學生必須會將復變函數在特定的圓環域中展開為洛朗級數。由此出發，教師課堂教學的重點就可放在如何將各種常見的復變函數在不同的圓環域中展開為洛朗級數，以及各種情況下求復變函數孤立奇點的留數以計算積分。而對于級數理論的建構過程，總體上做完整的描述即可，某些學生在專業課中并不經常用到的技術細節未必需要過多深入——例如用復變函數積分表示洛朗級數的系數公式的證明等等——這樣可使課堂教學突出重點，避免過于枝蔓。

又如作為解析函數理論基石的柯西黎曼方程，也即函數可導的充要條件。課堂教學的重點就應該放在如何用其判斷具體函數的可導情況與解析情況。教師應多舉具體實例，使得學生熟練掌握不同情況下該條件的應用方法。對于該充要條件的詳細證明過程，課堂上未必需要完整講述。而可以選擇其中重要的部分，例如條件必要性的證明即何以會出現柯西黎曼方程的兩個恒等式，使學生能知其然且知其所以然。

三、緊密聯系本課程與先修課程的內容

復變函數的先修課程主要是《微積分》。《微積分》的內容是實變函數的初等微積分，而《復變函數》“主要討論復數域的微積分”。《復變函數》中不僅會直接用到《微積分》的大量結論和方法，而且它的很多內容是《微積分》的進一步推廣與深化。這就要求教師在課堂教學中多將本課程的教學內容與《微積分》相聯系，以利于學生更好領會復變函數的思想、掌握復變函數課程的方法。

以復變函數的連續概念為例。它形式上和《微積分》中完全一樣，是用“函數的極限等于相應的具體函數值”來定義的。但何以稱滿足此條件的函數為“連續”呢？《微積分》中對此有完滿的回答——滿足此條件的一元實變函數的圖像即其所表示的曲線是連續不間斷的，滿足此條件的二元實變函數的圖像即其表示的曲面是連續不間斷的，等等。但在《復變函數》中，所有這些明顯的幾何意義都消失了。原因是復變函數的圖像并不能用曲線或曲面來表示。所以教師在講述連續概念時，最好先從復習實變函數的相應內容入手，以使學生對其先有直觀的幾何印象，易于接受和理解。

再以復變函數積分的定義為例。它是實變函數積分的直接推廣，都是通過四步驟“分割積分區域、近似作積、求和、取極限”而得的。在《微積分》中，積分有明顯的實際含義——一元實變函數的定積分表示曲邊梯形的面積，二元實變函數的重積分表示曲頂柱體的體積或平面薄片的質量，曲線曲面積分更是有著非常多的物理意義。而復變函數的積分以定積分為特殊情形，形式上與其近似，但幾何意義與物理意義卻并不明顯。所以教師在課堂上引入復變函數積分定義之前，最好先復習定積分的定義并說明其具體意義。否則直接講述復變函數的積分，學生一上來就面對冗長的定義過程和抽象的算式，很可能會陷入不知所云的境地而失去進一步學習的興趣。教學效果可能也會大打折扣。

《復變函數》的內容是《微積分》的深化與推廣。某些具體問題在《微積分》課程中未必能夠講得完全清楚，而在《復變函數》中則能得到完全的解決或是更清晰透徹的解釋。在這些場合，教師可以向學生展示復變函數的威力，從而激發學生的學習興趣，達到良好的教學效果。

結語：通過以上幾點探討可知，在應用技術類院校中，教師若能從實際出發，且緊密深刻聯系先修的數學課程講授《復變函數》，可收到良好的教學效果。從而為學生為進一步的專業課學習打下扎實的數學基礎。