基于模糊C均值聚類和轉子軸心軌跡特征的轉子狀態診斷

溫廣瑞， 陳 征， 張志芬

(1. 西安交通大學 現代設計與軸承轉子系統教育部重點實驗室, 西安 710049;2. 西安交通大學 機械工程學院智能儀器與監測診斷研究所，西安 710049; 3. 新疆大學 機械工程學院， 烏魯木齊 830046)

旋轉機械廣泛應用于各行各業的重點關鍵設備，而轉子是大型旋轉機械的核心組件，轉子設備在運行過程中，由于工作環境、負載等因素的影響，會使轉子從正常狀態演變為故障狀態[1]，因此僅判斷轉子運行狀態是否出現異常已無法滿足當前工業生產的需求，轉子運行狀態評估和故障程度的預判已經成為制造服務業的迫切需求。

故障診斷的過程分為信號采集、特征提取(或數據預處理)和診斷推理三大部分。模糊理論、灰色理論[2]、DS證據理論[3]、以支持向量機為代表的多值分類器[4]、神經網絡[5]等常常被用作故障診斷的推理工具，用來確定故障模式。而診斷推理方法的準確性在很大程度依賴于信號所提取特征的質量，因此選擇適合的特征提取方法至關重要。對于轉子振動信號而言，除了傳統的時頻域特征外[6]，分形理論、熵理論、小波理論、符號動力學理論、以經驗模式分解為代表的信號自適應分解[7-8]、流形學習等方法在信號的特征提取領域有著廣泛的應用。李兵等[9]基于數學形態學的分形維數計算方法對滾動軸承正常狀態、滾動體故障、內圈故障和外圈故障信號進行了分析；曾求洪等[10]提取小波包分解后各獨立頻帶信號分量的近似熵值作為故障特征；Lu等[11]提出了一種基于自適應多小波和綜合檢測指標的特征提取方法提高了對轉子狀態變化的敏感性；張華等[12]提出采用符號動力學信息熵結合支持向量機方法實現了液壓泵故障診斷；Imaouchen等[13]應用頻率加權能量算子和互補集成經驗模態分解對軸承進行故障檢測；同年Peng等[14]提出窄帶自適應稀疏分解方法并應用到轉子故障診斷，對轉子常見的4種故障數據進行了分析。

轉子軸心軌跡包含著轉子運行最直觀的信息，通過提取軸心軌跡的特征信息能夠了解轉子所處的狀態并進行故障預警。目前國內外學者對軸心軌跡特征提取的研究分為模式識別和形態描述兩大方向。用于模式識別的軸心軌跡形態學常見特征包括跳動度、軌跡半徑最佳值、平均半徑、散射度、凹凸度[15-16]、HU矩、傅里葉描繪子、宏觀歐拉數、模糊凸凹度和邊界層特征[17]、流行敏感特征[18]等。軸心軌跡形態描述方面的研究是轉子運行狀態評估的重要研究方向，同樣有著豐碩的研究成果。王朝暉等[19]從軸心軌跡在各個象限的重合度出發，提出無量綱指標象限面積向量，定量的評價了軸心軌跡在象限內各個周期的重合度；隨后王朝暉等[20]在無量綱象限面積向量的基礎上通過改進面積向量法的特征計算方法，提高了識別的靈敏度。胥永剛等[21]通過擴充近似熵的定義提出了二維近似熵軸心軌跡穩定性評價；蔣林等[22]使用盒維數對旋轉機械瞬時運行狀態給出了定量評價；胡道達等[23]使用盒維數實現了油膜渦動、油膜振蕩這兩類油膜異常情況的識別。軸心軌跡的特征提取給轉子狀態評估提出了新的思路，其中形態描述具有很重要的應用價值，其直觀可視的優勢必將在工程應用中實現更大的發展。此前大多數學者僅聚焦于軸心軌跡特征的提取，而在獲取特征后利用該特征進行模式識別和轉子故障程度判別方面的研究較少。

本論文從描述軸心軌跡在測振面分布情況出發，提出軸心軌跡象限信息熵法，并使用模糊C均值聚類對不同程度不同故障狀態的轉子進行模式識別。

1 軸心軌跡象限信息熵算法

香農(Shannon)借鑒了熱力學的概念，將信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數學表達式。

(1)

式中：pi代表某狀態出現概率。

使用信息熵進行軸心軌跡特征提取的本質是將軸心軌跡在傳感器布置截面空間的分布概率化，用概率去描述軸心軌跡的形貌。計算流程如下：

(1) 首先將軸心軌跡按照四個象限劃分為四個區域；

(2) 對每個區域均勻劃分網格，設定網格數為M×M，統計每個網格內的點出現的頻率；

(3) 依據算式(2)計算軸心軌跡信息熵值Hi。

(2)

依據信息熵的定義可知，若軸心軌跡比較集中的分布在少數網格里，且在被覆蓋的網格中分布比較均勻，則信息熵值較低，反之信息熵值較大。軸心軌跡象限信息熵可用來描述不同狀態軸心軌跡在各個象限之間的分布情況和其在每個象限分布的均勻性，在四個象限的分布越均勻，得到的四個熵值越接近。軸心軌跡網格化過程如圖1所示。算法中網格數一旦確定，軸心軌跡的邊界大小就不會影響信息熵值對信息熵產生影響，對于不同尺寸的軸心軌跡，只要被網格分割的程度一致，就等同于不同軸心軌跡被限制在相同的大小，該算法僅關注每個網格內的點數而不是每個網格的尺寸，可見軸心軌跡象限信息熵是一個無量綱指標。圖1中網格點顏色代表使用網格覆蓋軸心軌跡后網格內點的個數。

2 基于Fuzzy C Means聚類的隸屬度計算方法

1.1 FCM基本理論

聚類算法依據被分類對象對聚類中心隸屬程度的取值情況可將聚類方法劃分為硬聚類與軟聚類兩種。隸屬度是表示一個對象x隸屬于集合A的程度，通常記做A={(μA(xi),xi)|xi∈X}，其自變量范圍是所有可能屬于集合A的對象，取值范圍是[0,1]。在聚類的問題中，可以把聚類生成的簇看成模糊集合，因此每個樣本點隸屬于簇的隸屬度只能取0或1。模糊聚類方法將樣本對各個類的隸屬度擴展為區間連續值，表現了樣本與樣本之間的聯系。其中最有代表性的當屬模糊C均值聚類算法[24](FCM)，算法把n個向量(i=1,2,…,n)分為個模糊組，并求每組的聚類中心，使得非相似性指標的價值函數達到最小[25-27]。

FCM具體算法如下：

(1) 隨機形成隸屬度矩陣U，其維數為n×c，其中n為樣本數，c為聚類數，隨機產生U的原則如式(3)：

(3)

(2) 根據隸屬度矩陣U和樣本矩陣X計算聚類中心C，如(4)式所示，ci是第i類樣本的中心：

(4)

(3) 依據聚類中心矩陣C計算目標函數J：

(5)

(4) 判斷是否達到聚類終止條件，否則繼續更新隸屬度矩陣值。

(6)

FCM算法需要確定兩個參數，一個是聚類中心矩陣C，另一個是參數m，它是一個控制算法的柔性的參數，m過大聚類效果會比較差，m過小則算法會接近硬聚類算法，丟失了模糊算法的優勢，一般將m取為2。

2.2 模糊C均值聚類數據預處理

2.2.1 軸心軌跡網格化參數M選擇

軸心軌跡象限信息熵是四維特征，為了排除轉子各項異性的干擾，在研究中將四個象限的信息熵值按熵值大小排列而非四個象限的自然順序。

依據信息熵理論可推測，過小的網格數M不足以體現不同狀態軸心軌跡分布上的差異，而過大的網格數會導致不同狀態軸心軌跡信息熵的趨同，不同狀態軸心軌跡分布差異變小導致多個狀態數據混疊，因此網格化參數M的優選很有必要。

本文提出對特征參數進行擇優的流程如下：

(1) 保持盡可能大的類間距和盡可能小的類內距；

(2) 根據式(1)～(4)計算可知各個狀態的類中心分布近似線性排布，類間距由各個狀態類中心到正常類中心的距離和確定；

(3) 由式(5)知目標函數J由樣本點到類中心的距離和依據隸屬度值加權得到，則以目標函數作為類內距和的度量。

2.2.2 聚類中心C初始化

FCM中另一個關鍵參數聚類中心矩陣C在傳統FCM算法中是從隨機產生的隸屬度矩陣U開始的，通過聚類中心向各個簇中心移動獲取目標函數的極小值。由于目標函數是個多極值函數，隨機產生的初始聚類條件會使聚類結果不穩定。因此論文使用密度估計方法進行聚類中心的初始化，改進迭代的順序實現聚類中心矩陣C的合理初始化。具體實現方法如下：

(1) 將傳統FCM算法中從初始U(隸屬度矩陣)到C(聚類中心)到J(目標函數)再回到U進行循環變為從初始化C(聚類中心)到J(目標函數)到U(隸屬度矩陣)再回到C(聚類中心)進行循環。

(2) 聚類初始點的初選原則是選擇類內密度最大的點作為該類的初始聚類中心，如式(7)所示。

(7)

式中：n為類內樣本數。

依據計算過程可知，式(6)無法使聚類中心和點集中的某個點的坐標重合，需要對搜索到的密度最大的點坐標增加一個微小的偏移量再進行聚類中心初始化，采用式(8)進行微調。FCM算法的目標函數能從任意給定的初始條件開始沿著一個迭代子序列收斂到其目標函數J的局部極小點或馬鞍點，即目標函數一定會收斂。目標函數收斂標志聚類結束，聚類的解可以理解為聚類中心矩陣，目標函數往往是多極值函數，因此聚類中心矩陣也有多種可能解，目標函數收斂值和聚類中心矩陣是一一對應的關系。即偏移量的確定只要夠小即可，具體取何值不會影響聚類的結果。

ci=xj+ζ

(8)

本文算法整體流程圖如圖2所示。

3 實驗驗證

3.1 實驗臺機方案設計

使用Bently RK4轉子實驗臺采集數據，實驗臺的實物如圖3所示，該實驗臺主要由轉子系統和振動測試系統組成。轉子系統包括轉子，電機，軸承和基座，圖中1～4分別表示電機、轉軸、軸承座以及基座。振動測試系統包括六組電渦流傳感器和一套連接計算機的數據采集儀。前四個傳感器被分為兩組，用于采集分別位于兩個截面的振動信號，如圖中a、b所示。第五個傳感器用于測量相位，第六個傳感器用于采集轉速如圖3中c所示。

圖2 算法流程圖

圖3 Bently RK4轉子試驗臺

在實驗臺上模擬轉子正常、不對中、不平衡、裂紋和碰摩五種常見轉子狀態，具體實現過程如圖4～10。設置采樣頻率為1 024 Hz，采樣時長為1 s，使用DT9837B數采卡對轉子穩定轉速過程進行連續數據采集，測量得到轉子系統在4 000 r/min轉速下的振動數據。

圖4 輕度不平衡實驗Fig.4 Mild unbalance experiment圖5 重度不平衡實驗Fig.5 Severe unbalance experiment

圖6 輕度不對中實驗Fig.6 Mild misalignment experiment圖7 重度不對中實驗Fig.7 Severe misalignment experiment

圖8 輕度裂紋實驗Fig.8 Mild cracked experiment圖9 重度裂紋實驗Fig.9 Severe cracked experiment

圖10 輕度碰摩軸心軌跡

Fig.10 Rotor rubbing experiment

(1) 不平衡故障：在轉子平衡盤的0°位置添加平衡塊。輕度不平衡平衡塊質量0.4 g，重度不平衡平衡塊質量1.0 g。

(2)不對中故障：用墊片將圖3中電機1墊起。輕度不對中使用一片墊片將電機前部墊起，重度不對中使用兩片墊片將電機前部墊起。

(3) 裂紋故障：在圖3中轉子2中部加工裂紋。輕度裂紋深度為1/5轉子直徑，重度裂紋深度為1/4轉子直徑。

(4) 碰摩故障：使用塑料棒和圖3中轉子2進行碰摩。不同程度故障通過摩擦棒不同下沉深度實現。

實驗得到不同程度不同故障模式振動信號，軸心軌跡分別如圖11～20所示。

3.2 聚類特征向量參數 M 的確定

由于M的取值范圍很大，經過嘗試確定M的范圍為20～50較為合適，取步長為1，計算目標函數值與類中心距離和隨著網格數變化情況，計算結果如圖4，以較高的類間距和較低的類內距為原則看出M=44是較為合適的網格參數。

圖11 正常軸心軌跡

圖12 輕度不平衡軸心軌跡

圖13 重度不平衡軸心軌跡

圖14 輕度不對中軸心軌跡

圖15 重度不對中軸心軌跡

圖16 輕度裂紋軸心軌跡

圖17 重度裂紋軸心軌跡

圖18 輕度碰摩軸心軌跡

圖19 重度碰摩軸心軌跡

圖20 目標函數值和類中心距離和隨M變化

3.3 聚類中心C 初始化

使用式(7)的聚類中心初始化方法對聚類過程進行調整。圖21和圖22為未經過初始化多次重復計算得到的聚類結果局部圖，圖23是經過初始化后的聚類結果，表1為三次聚類結果目標函數值結果。

通過圖21和圖22可以看出，未經過聚類中心初始化的聚類結果不穩定，不同初始條件下目標函數收斂到不同值。不僅如此通過表1可以看出目標函數收斂值的高低對于聚類效果的參考價值有限，通過觀察，目標函數值最低的聚類結果a錯誤，表明傳統的FCM算法具有一定的盲目性和不穩定性，通過聚類中心的初始化可以比較好地規避這些問題。

圖21 未初始化聚類結果a局部圖

圖22 未初始化聚類結果b局部圖

圖23 初始化后聚類結果c

結果目標函數是否收斂聚類中心是否正確目標函數值a(未初始化)是否2.281b(未初始化)是否3.962c(初始化)是是3.378

此處需解釋目標函數在特征參數M選擇和聚類時的不同作用。首先目標函數J是樣本點到各個類中心距離的加權和，通過實例看出目標函數的作用是判斷聚類是否結束(J是否收斂)。對于特征參數M擇優的意義在于描述類樣本分布的緊密程度，因為在M變化后的每次聚類時，都需要保證聚類結果是正確的，即不能出現在一類樣本中放置多個聚類中心。因此在網格數擇優中目標函數值的參考意義更大。

3.4 數據驗證

使用重度故障樣本建立評價模型，樣本總數90。使用不同程度的故障數據進行數據驗證，分別為輕度不平衡，重度不平衡，輕度不對中，重度不對中，輕度裂紋，重度裂紋，輕度碰摩，重度碰摩，8種狀態共40組樣本，每種狀態5組，依據重度故障樣本構建的模型對以上8種狀態進行模式識別。識別結果以隸屬度值的形式展示，如圖24～31所示。

圖24 輕度不平衡識別結果

圖25 重度不平衡識別結果

圖26 輕度不對中識別結果

圖27 重度不對中識別結果

圖28 輕度裂紋識別結果

圖29 重度裂紋識別結果

圖30 輕度碰摩識別結果

圖31 重度碰摩識別結果

圖24顯示輕度不平衡數據對于正常有較高的隸屬度，主要原因在于輕度不平衡在形態上與正常狀態十分接近，可以接受。圖25～31可看出其他狀態的數據都可以得到較好的識別，隸屬度的高低也能體現程度的高低，表明軟聚類FCM算法和軸心軌跡象限信息熵指標在故障數據可視化表征上的優勢。

3.5 對比驗證

驗證本文提出的指標，選取了3種用于軸心軌跡形態描述的指標，分別為軸心軌跡象限面積熵[19]，軸心軌跡二維近似熵[21]和軸心軌跡盒維數[22-23]，與提出指標進行對比。軸心軌跡象限面積信息熵描述了軸心軌跡在各個周期的分布均勻性和在四個象限內分布的偏心情況；二維近似熵由何正嘉于2003年提出，實現了對近似熵概念的擴充，突破近似熵僅能對一維信號進行復雜性度量的局限，使其同樣適合度量軸心軌跡二維信號的復雜性，二維近似熵描述了當嵌入位數變化時，其軌跡產生新模式的概率大小，相比一維近似熵其包含更多的信息，靈敏度也更高；軸心軌跡盒維數量化的是軸心軌跡圖像對空間的填充能力，評價軸心軌跡不規則程度的指標。

同軸心軌跡象限信息熵處理樣本的步驟相同，建立評價模型，樣本共90組。使用不同程度的故障數據進行數據驗證，8種狀態共40組樣本，每種狀態5組。識別結果如圖32～39所示。

圖32 輕度不平衡識別結果

圖33 重度不平衡識別結果

圖34 輕度不對中識別結果

圖35 重度不對中識別結果

圖36 輕度裂紋識別結果

圖37 重度裂紋識別結果

圖38 輕度碰摩識別結果

通過計算結果可以看出，軸心軌跡象限面積熵，軸心軌跡二維近似熵和軸心軌跡盒維數指標，對于重度故障數據能得到比較好的識別效果，但對于輕度狀態的識別結果不理想，除了不對中和碰摩之外其他故障都不能得到有效識別。

圖39 重度碰摩識別結果

軸心軌跡象限信息熵評價的是軸心軌跡在四個象限的分布情況，故障程度越嚴重，軸心軌跡在四個象限的分布越不均勻、在單個象限的分布越離散，均會導致熵值增加，故障程度和熵值變化趨勢一致。同時象限信息熵四維指標是等價的，通過指標的重排序使各個狀態在聚類時其聚類中心呈類線性排列，從而可以獲得了更好的識別效果。

4 結 論

本文以軸心軌跡在四個象限分布為切入點，提出了軸心軌跡象限信息熵實現轉子振動信號的特征提取，得到四維信息熵特征，并以模糊C均值聚類算法作為模式識別和故障程度判別工具。通過采集不同轉子故障狀態的信號，討論了網格劃分程度對于聚類效果的影響，得到聚類最優網格數；通過類內密度估計初始化聚類中心提高了聚類的穩定性和成功率。

識別結果表明，以該指標建立的故障程度判別模型，對不同類型故障狀態和不同程度故障狀態均能有效識別。與現有軸心軌跡形態描述方法對比分析，進一步驗證了本文提出的特征提取方法-軸心軌跡象限信息熵法在轉子狀態評估上擁有更好的狀態描述和故障程度判別能力。