風速時間序列模擬的模型有效性驗證及代表性風場實例分析

馬 賽， 褚福磊

(清華大學 機械工程系， 北京 100084)

風速時間序列分析對于風力資源的評估以及風力發電機組的設計都具有重要的意義。首先，能量密度曲線可以給出一地區的主要風能密度區間，顯示出其風力資源水平。為了獲得較高的風力轉化效率以及并網穩定性，風力發電機組的設計應以符合該地區主要風能密度區的特征為首要目標。而在風力發電機組的設計階段，為了使葉片以及機械結構(行星齒輪、軸承等)滿足設計要求，需要對其在復雜激勵環境下的結構響應進行合理地模擬。風速時間序列的模擬就是環境激勵模擬的一個重要組成部分，在該模擬過程中，功率譜密度模型的選擇對于模擬結果具有直接的影響，合理的模型選擇可以產生較為逼真的風速激勵形式，進而有效地實現結構設計與改進。

近年來隨著可再生能源產業的不斷發展，國內外工程技術人員對風力資源評估以及風速時間序列模擬等問題開展了廣泛的研究?？紤]到基于氣象觀測數據分析方法的不足[1]，基于風場數據能量密度曲線的風資源評估方法受到了研究人員的關注[2-4]?，F有的風場數據分析結果大多面向局部地區風場，缺少大跨度區域風場資源分析結果的對比[5]，因此難以形成對基于中尺度天氣預報模式(Weather Research Forecasting，WRF)的風資源評估方法的有力補充與實際驗證。

對于風速時間序列模擬這一問題，我國國家標準中僅對風速譜模型的選擇給出了建議，但缺少對其建議的實例驗證。國內研究人員在對國內風場的風速時間序列模擬問題展開研究時，一般采用首先假定風速譜模型，然后依據模型生成模擬風速時間序列的方式[6-9]。該方式的局限性在于：其僅適用于模擬已驗證所選用譜模型適用性的風場。然而對于具體風場，考慮到其地理、大氣等因素的影響，具體風速模擬的譜模型選擇依據尚需進一步明確。文獻[10-12]中雖給出了模型選擇結論，但研究僅對某一特定區域風場進行了實例驗證，模型的跨區域通用性有待確認。因此針對不同區域的具體風場而言，如何選擇風速譜模型對其風速時間序列進行模擬具有重要的工程意義。本文中針對這一實際問題，立足于全國范圍內代表性風場的全年監測數據，給出了風場時間序列模擬時的模型選擇一般準則，并對該準則進行了我國境內跨區域風場的實例驗證與分析。

本文探討的是在風力發電機組的前期設計過程中，能量密度曲線與功率譜密度模型對于風力發電機組選型與設計所具有的意義。通過計算與對比能量密度曲線，可以明顯的觀察到目標風場所具有的風力特征；而通過對比功率譜模型與風場實測數據功率譜之間的關系，可以評估經典功率譜模型在模擬過程中的有效性，給出模型的最佳選擇。

1 風場的能量密度函數

能量密度定義為每平方米內的風能水平，單位是W/m2。對于具體風場的能量密度函數是通過概率密度函數的形式給出的，風能密度的概率密度水平給出了該風能密度取值的持續時間。良好的風力資源一般同時具有較高的風能密度水平和對應的概率密度水平。式(1)給出了能量密度函數的計算方法：其中x表示風速，ρ為當地空氣密度。從式(1)中可見：風能密度函數與風速時間序列的取值呈單調遞增的冪指數關系。

(1)

1.1 含參數概率密度估計

考慮到風能密度曲線與風速時間序列取值的關系，為了得到目標風場的能量密度曲線，首先需要對風速時間序列的概率密度函數進行估計，在該概率密度函數的基礎上，可以通過一定的數學變換得到能量密度函數的概率密度曲線。這里給出了幾種可靠的風速時間序列概率密度函數[13-16]：

1) Weibull分布：

(2)

2) Rayleigh分布：

(3)

3) Gamma分布：

(4)

4) Lognormal分布：

(5)

式(2)～(5)給出的幾種概率分布是經典的風速數據分布模型。對于任意的風速時間序列，一般首先假設其服從其中一種概率分布模型，將實測數據對分布參數進行擬合，然后得到較為準確的風速概率分布曲線。

1.2 自變量函數的概率密度函數-變量代換

從式(1)可以看到：風速的能量密度函數與風速呈3次冪單調指數關系，因此可以通過變量函數法計算能量密度的概率密度函數。變量函數法表達式如式(6)所示，其中P(·)表示能量密度函數。

(6)

由式(1)中的風速與能量密度函數關系與式(6)的概率密度函數變換關系就可以計算得到風場能量密度的概率密度函數。

1.3 概率密度函數檢驗與確認

為了得到風速時間序列的準確概率密度函數，文中采用了最大似然估計法[17](Maximum Likelihood Estimation)與 Kolmogorov-Smirnov檢驗對各風場數據的概率密度參數進行了估計，并對估計結果進行了統計模型的確認，確定了各風場的有效建模方法，具體結果如表1所示。

如表1所示，除4號風場外，其余1，2，3，5號風場均采用非參數法估計其概率密度函數。因為經過KS檢驗后發現4號風場服從置信度為95%的Gamma分布。而另外幾處風場沒有通過KS檢驗，因此采用了非參數法估計其概率密度函數。

表1 風場編號與相應建模方法

1.4 非參數概率密度估計-核密度估計

核密度估計方法一般用于難以確定其概率密度模型的概率密度估計問題。文中對于未通過KS檢驗的4處風場(1，2，3，5號)采用了該方法建立概率密度模型。式(7)為核密度估計方法的表達式：

(7)

式中:n表示待擬合的數據點數，h為擬合窗寬度，其取值按照文獻[18]確定，K(·)為擬合函數形式。

2 時間序列的功率譜描述

相關函數是在時間域內反映兩信號相關程度的指標。在風速時間序列評估體系中，為了評價其相關性時間尺度，需要計算自相關函數，然后通過頻域變換得到其功率譜描述。

自相關函數的表達式為：

(8)

式中:f(t)為風速時間序列；當R=0時，表示x(t)和x(t+τ)之間在各時間段上均互不相關；當R=1時，表示x(t)和x(t+τ)之間在各時間段上完全相關。

式(9)、(10)中的Gxx(f)、Gyy(f)分別為輸入信號x(f)，輸出信號y(f)的單邊自功率譜；Gxy(f)為x(f)與y(f)的單邊互功率譜：

(9)

(10)

功率譜函數反映了頻域上時間序列各時刻之間的相關性，如果功率譜函數的取值主要集中在低頻，說明原始時間序列具有長相關性；如果功率譜函數的取值分布在頻域上較平坦，則說明原始時間序列隨機性較強。

3 風速時間序列模擬方法

為了合理地模擬特定時間序列，首先需要提取其穩定的特征用于重構，而對于風速載荷這樣一類隨機性較強的時間序列，其穩定的特征包括功率譜函數與概率分布函數兩類。由于概率密度函數的估計結果時常產生難以避免的誤差，因此工程上一般選用結合功率密度函數的Monte Carlo方法生成風速載荷時間序列[19]。其中常用的風速載荷模擬方法包括：①濾波變換法以及②諧波疊加法，兩種方法在應用之前都需要恰當地選取目標時間序列的功率譜模型。

3.1 濾波變換法

濾波變換法的思想是：將白噪聲時間序列與一個濾波器或濾波器組做卷積運算，可以得到具有目標特征的風速時間序列。該方法中所采用的濾波器組，其系數是由功率譜模型經過傅里葉反變換得到的，因此可以保證所生成的目標序列與選用的功率譜模型具有相同的統計參數。

圖1中給出了生成一維風速時間序列的模擬流程，其中的HL(t)、HH(t)兩個變量分別代表了風速時間序列的低頻部分與高頻部分。

圖1 濾波變換法流程圖

采用這一類方法生成風速時間序列所選用的模型包括：Dryden譜，von Karman譜[20]，Kaimal譜[21]等。本文中將對其中應用較為廣泛的von Karman譜以及Kaimal譜進行對比分析。

3.2 諧波疊加法

諧波疊加法是在目標頻段上隨機選取頻率點，將這些頻率點服從均勻分布的三角函數進行疊加以生成目標風速時間序列。該方法屬于一種門特卡羅模擬，通過提高疊加頻率點的數量可以對隨機或長相關時間序列進行有效的逼近。

圖2 諧波疊加法流程圖

由圖2所示，生成的各階諧波疊加后的結果就是目標風速時間序列的模擬結果：

(11)

式中:ω表示隨機選擇的頻率點，θ為對應的相位。利用該方法將50個以上的諧波函數疊加就可以對風速時間序列進行較準確的模擬。但是與濾波變換法相同的一點是，該方法也依賴于所選擇的時間序列功率譜模型。

4 經典功率譜模型

對于風速時間序列而言，經典的功率譜模型包括四種。在國際上，von Karman模型與Kaimal模型較廣泛地應用于風速時間序列模擬以及風場評估；Davenport模型[22]與Mann模型[23]在國內應用較多。以下依次對各模型予以介紹說明。

4.1 von Karman模型

von Karman模型的表達式如式(12)所示，其中參數f表示頻率，σ表示風速標準差，L表示湍流積分尺度，Vhub表示輪轂高度處的平均風速。

(12)

von Karman模型屬于較早期提出的功率譜模型，相對于后期發展的模型而言，其更適用于自由流動場的風速時間序列的模擬。當風場地表的構型存在劇烈變化以及各風力發電機組具有尾跡干擾效應時，該模型的模擬能力存在一定的缺陷。另外，不同方向上的湍流積分尺度L也具有較大的差異，因此在應用該模型時應該對不同流動方向分別予以考察。

4.2 Kaimal模型

式(13)為Kaimal模型的表達式，其中的各參數與von Karman模型定義相同。

(13)

Kaimal模型相對于von Karman模型的改進之處在于假設不同方向上的風速時間序列是獨立的，因此在模擬三維風速流場時具有更高的精度。

4.3 Davenport模型

Davenport模型相對于前兩種模型的不同之處在于假設湍流積分尺度沿高度不變為常數1 200，并且該模型為各高度下風速功率譜平均值表達式。

(14)

(15)

(16)

式中:參數V10表示10 m高度處的平均風速，K表示地面粗糙度。該模型在早期的風速模擬過程中應用廣泛，但粗糙度系數K的取值缺少明確的解析表達式，因此會在風速模擬結果中引入較大的誤差，降低了該模型的可用性。

4.4 Mann模型

Mann模型[23]為一種均勻切變湍流模型，其功率譜表達式如式(17)所示：

(17)

σ1=Iref(0.75Vhub+5.6)

(18)

式中:∧1為高度大于70的取值42。Iref為風速在15 m處的湍流期望值，本文中取0.14。Mann模型相對于von Karman模型引入了切變變性參數，使得自身在三個方向上的方差可以隨該參數變化[23]。

值得注意的一點是：對于垂直于迎風面的風速時間序列，各模型的不同之處主要來自于表達式中含頻率項的指數，該指數決定了功率譜幅值隨頻率增加的衰減速率。

5 實測風速數據分析

本文所分析的風速數據來源于中國境內的五座風場，其位置分別位于寧夏(代表中西部地區)、黑龍江(代表北部地區)、安徽(代表中東部地區)、甘肅(代表中西部地區)，廣東(代表南部地區)等五個省份，具體編號如表1所示。

5.1 風速數據描述

風速時間序列均為表1中五座風場的近五年內某年份的全年風速數據，考慮到氣候變化的周期性，風場在各年份間的風力資源較為相似，因此以全年風速數據作為分析對象是合理的。其采集間隔為10 min，測風塔高度為70 m。在分析數據時選擇切入風速(風力發電機組啟動風速)與切出風速(風力發電機組最高工作風速)分別為3 m/s和20 m/s。

5.2 能量譜對比分析

任意風場能量密度的表達式如式(1)所示，本節中采用本文第一節內容中的含參數概率密度估計方法、非參數概率密度估計方法以及變量變換法分別計算了五處代表性風場的能量密度曲線[25-29]，具體結果如圖3所示。圖1中的橫坐標表示能量密度，單位為W/m2，縱坐標表示概率密度的取值。從該圖中可以發現：我國東南沿海地區風場的風力資源最為豐富(5號風場)，其有效風能密度區(200～400 W/m2)的持續時間最長(概率密度取值最高)；北部地區(2號風場)風場的風力資源也較為豐富，且在高風能密度區(>500 W/m2)相對于其他地區具有一定優勢；對于主要風力資源集中在低風能密度區(<200 W/m2)的部分地區風場(3號風場)，在風力發電設備選型時應該有針對性的進行結構設計，以期獲得較高的轉化效率以及并網電力的良好穩定性。

圖3 各地區代表性風場的能量密度曲線

5.3 功率譜對比分析

本節中采用前文所述的功率譜模型對五處代表性風場的全年風速時間序列進行了分析與對比。圖4～圖7給出了表1中五處風場全年風速時間序列的功率譜曲線以及對應的von Karman模型、Kaimal模型、Davenport模型、Mann模型曲線。

圖4～圖7中各模型均對功率譜函數進行了歸一化。從各圖中可以看出：相對于實測數據功率譜曲線，Kaimal模型、von Karman模型以及Davenport模型在整個頻段上的功率幅值均存在著較大的差別，這一差異會導致所生成的模擬風速時間序列與實際載荷在幅值上的顯著差異。

Mann模型相對于另外三種模型較好地模擬了五座風場實際風速時間序列的功率譜。其主要的優勢在于功率譜函數隨頻率增加而衰減的趨勢與實測數據保持一致。其中，1、2、4號三座風場數據吻合度高，而3、5號兩座風場數據吻合度存在一定的差距，但相對于其它模型而言，該結果仍是可以接受的。

Mann模型的理論基礎是湍流模擬中的快速畸變理論，由于假設在高度區間內風速輪廓線保持線性變化，因此使得Navier-Stokes可以被線性化并用于描述湍流的空間二階結構。在N-S方程求解過程中考慮到風速輸送動量以及湍流尺度等因素忽略了非線性項以及粘性項。Mann模型相對于其他功率譜模型的主要區別在于在模型中考慮了“渦壽命時間”，因此在模擬功率譜時具有較為合理的頻率衰減系數(功率譜曲線的斜率)，進而可以更好地描述實際風速的功率譜。采用Mann模型在設計階段模擬風速時間序列可以更準確地給出結構設計需求，提高設計精度，因此對于國內風場的風速時間序列模擬問題是一個較為合理的選擇。

另外，從圖4～圖8中的功率譜曲線可以發現：1號、5號風場具有12小時的周期波動成分，而3號、4號、5號風場具有24小時周期波動的成分，體現出風力資源的短時波動性質，在對風電資源進行調度時應予以考慮。

值得注意的一點是：所采用的四種模型對于5處風場功率譜在低頻部分的擬合程度仍存在精度不足的問題，文獻[30]對這一問題進行了深入細致的研究和理論推導，對Mann模型的兩個重要參數進行了修正，可以有效提高風功率譜低頻范圍的模擬精度。

從實測風速數據的功率譜曲線以及四種功率譜模型可以看到，風速時間序列屬于典型的1/f過程，其功率譜函數的取值隨著頻率的增加而衰減。不同的1/f過程的差異在于功率譜函數衰減的速率或指數，文中與風場數據衰減較為一致的Mann模型，其衰減速率較高，這一類過程具有長程相關的特征；而其他模型的衰減速率較低，功率譜曲線在頻率域上分布較為平坦，因此具有短時相關或者隨機過程的特征。

圖4 1號風場功率譜曲線與四種模型對比

圖5 2號風場功率譜曲線與四種模型對比

圖6 3號風場功率譜曲線與四種模型對比

圖7 4號風場功率譜曲線與四種模型對比

圖8 5號風場功率譜曲線與四種模型對比

6 結 論

本文以國內各地區五處代表性風場的風速時間序列為對象進行了能量譜與功率譜計算，對各風場的能量密度曲線以及四種經典的功率譜模型進行了對比與分析，得出了如下幾點結論：

(1) 從各地區代表性風場的能量密度曲線對比結果來看，我國東南沿海以及北部地區風場的風力資源較豐富，而各地區的風場在不同的能量密度區間具有各自的優勢。

(2) 采用濾波變換法與諧波合成法對風速時間序列進行模擬時，功率譜模型的選擇對模擬結果的精確程度具有直接的影響，應選擇與目標風場實測功率譜較為匹配的模型開展風速模擬。

(3) 國內五座風場風速的功率譜曲線與Mann模型吻合較好，而與其他模型存在著較明顯的差異，因此應該在模擬風速時間序列時選擇Mann模型。

(4) 國內風場風速時間序列在時域上具有長程相關的特征，可以針對這一特點對風速載荷的快速模擬以及預測方法進行進一步的研究。