融合高等數學與初等數學競賽思想促進中學數學教學的研究

姜瑩瑩 盧衛君

摘要：高等數學思想與初等數學競賽思想分別體現了高等數學和初等數學競賽的數學本質。將兩者融合應用于中學數學的教學中，有利于教師在高觀點下指導完善數學教學模式和策略從而提高教學質量，有利于教師教學觀念的轉變從而在融合應用中提升自身數學專業素養。對學生而言，高階思維的指導有利于數學思維的發展、數學學習熱情的高漲、個性品質與能力的提升。本文探究了高等數學思想和初等競賽數學思想的契合之處，析出融合的數學思想，并通過教學實踐提出教學建議。

關鍵詞 數學思想 高等數學 初等數學競賽 中學數學教學 教師素養

0引言

長期以來，中國選手在國際上的數學競賽中的實力有目共睹。但在第11屆羅馬尼亞數學大師賽（RMM）中，中國隊卻無一人奪得金牌，然而在獲得金牌的選手中不乏華裔選手的身影，這一現象不禁引起我們對當前數學教育的思考。新課改的深入對師生數學思維能力和數學素養提出了更高要求，但畢業升入大學后，卻發現這批大學生的數學素養普遍不高，數學專業的學生在專業課的學習上略顯吃力，中學時的數學感性思維已達不到高等數學的理性分析要求。因此，在高觀點下指導中學數學的教學以發散學生思維并提升師生的數學素養是有必要的。

1高等數學思想與初等競賽數學思想的融合

數學思想不僅僅是解決數學問題的方法，也不僅僅是展現數學內在價值和意義的載體，更是一種思維模式，是思考的過程。數學思想的滲透是潛移默化的，只要掌握了數學思想，即使忘記了在數學課堂上老師教授的相關問題的具體情境和解題步驟，也不會阻礙我們思考解決實際問題的方法。數學思想本無明顯的分界，因數學內容的深度、廣度、難度可以包羅萬象，為了使思想方法能為各個階段的人的思維能力所接受，將其進行細致劃分為各個階段的數學。因此，各個階段的數學思想的融合能展示出最完整的數學本質。高等數學思想和初等數學競賽思想同為初等數學思想的進階，初等數學競賽思想介于高等數學思想和初等數學思想之間，能更好的為中學生思維的培養、知識的拓展、視野的拓寬而服務。

高等數學的部分內容貌似深奧，實則可用初等數學來解決。初等數學競賽多是以高等數學為背景，用初等數學解法來解決，很少用到高等數學中的高深的理論，卻可以借鑒高等數學的解題思維和思考方式。在目前的高中數學教材中，許多知識內容已經達到了競賽甚至高等數學的水平，只是在內容呈現上更加簡明，要求掌握的程度相對偏低。但不可否認的是，高等數學“初等化”、數學競賽普及化已逐漸在滲透。

例如，柯西不等式作為高等數學中的重要成果，早期只在數學競賽中出現，但在2003年頒布的高中課程標準選修系列《不等式選講》教材中加入了柯西不等式。利用不同方法證明柯西不等式的過程、簡單應用柯西不等式的過程便是高等數學思想的最好體現。例如2017年高考浙江卷第15題：已知向量，滿足，，求的最小值和最大值。此題可借助最值函數與絕對值不等式的性質，再利用柯西不等式求解，方法簡單且不易出現計算錯誤。可見，高等數學以及初等數學競賽的思想、內容正逐步滲透到中學數學中。

以高等數學思想、數學競賽思想指導中學數學的教與學，在一定程度上增強了師生的自信心，同時還能發現與創造新的思想方法，逐步提升創新意識。在應用融合思想的過程中，還能拓寬學生的思維，從而找到更有效的解決問題的途徑，提升數學素養。學習融合的數學思想，有利于學生主動學習數學知識，形成知識體系，更準確把握知識的本質和精髓，從而更容易掌握知識。在各類創新情境中，發現數學取之生活，用于生活，發現數學之美，從而激發學生研究數學的熱情和興趣。而教師在學習過高等數學理論知識的基礎上，對中學數學的知識、內容、思想、方法等將有更深刻的認識，教學起來便也得心應手，能夠引導學生探索數學之奧秘，感受數學之美，學生興趣濃厚了，教師的自豪感和成就感也就增加了，工作熱情自然便能提高了。在挖掘高等數學和初等數學競賽中所蘊含的數學思想方法時，教師勢必轉變已有的傳統的教學觀念，對教學方法進行積極學習和研究，通過教學實踐提升自身數學教學素養。

本文把高等數學思想與初等競賽數學思想的融合之處簡稱為融合的數學思想。將融合的數學思想應用于中學數學教學中，需要教師擁有良好的專業素養，需要教師對數學思想有深刻的把握和理解，對數學知識透徹掌握并能靈活運用，才能將思想轉化為教學能量輸送給學生。因此這樣一個探索教學的過程，也是教師數學素養提升的過程。而對于學生而言，對數學思想的消化吸收不僅利于靈活解題，也是對思維的創新訓練。

2融合的數學思想在中學教學中的應用

2。1聯想的思想

聯想的思想在高等數學和初等數學競賽中經常用到。關于聯想的數學思維在波利亞的《怎樣解題》一書中有很好的體現。在波利亞的解題表中，第二步便是通過聯想的手段來制訂方案。聯想可以是未知與已知的聯想，特殊與一般的聯想，數與形的聯想等等。聯想是一種思維活動，也是一種心理活動，是求解數學問題的重要思維途徑。

例1：已知數列滿足：

分析：此題為2017年高考浙江卷第22題第（2）小題。按照因果聯想，分析題目的條件與問題，乍一看很難建立起聯系，并且由題設也不容易作出變形和轉化，不妨由問題入手。利用聯想的思想方法，要證明不等式成立，只要證明，即證。再將題設中的條件代入不等式，便只須證：

此時，問題轉化為“求證關于的函數的最小值大于或等于0”的問題。再利用導數求解最值即可得證。

2。2數學抽象思想

在中學階段，數學抽象思想多體現于概念教學，數與形的教學，數量關系之中。概念教學比如函數的概念、集合的概念、復數的概念、導數的概念等，這些數學概念都是抽象的。而函數往往要結合圖象來理解或分析，這就將函數抽象成數學圖象這一直觀語言來研究。在實際問題情境中，往往存在許多數量關系，要通過字母、數字建立方程、不等式模型，從而將實際問題抽象成數學問題。

因此，在教學中滲透數學抽象思想時，首先要從具體問題出發，由具體的形式抽象出數學的概念、定理等，比如通過對實際問題的分析抽象出函數的概念。其次，在教學中要注意將抽象問題具體化、復雜問題簡單化，將抽象與形象相結合，比如將函數的單調性、周期性與圖象相結合。再次，注重培養學生的觀察分析能力以及歸納類比能力，這樣才能通過大量實驗或類比發現規律、特征，從而抽象出數學內容，比如觀察圖形數量變化規律找到圖形數量與序數之間的關系，實際上是將數量規律抽象成數列這一數學語言。最后，將抽象思想與數形結合、化歸與轉化等數學思想相結合，共同促進教學。

初中階段，學生往往對抽象的概念茫然不知所措，總是用死記硬背的方式記住概念，比如函數，大多數學生甚至說不出函數是什么。函數的概念是浙教版八年級上冊數學教材的第五章內容，明確指出了函數的概念。函數的概念是抽象的，在教學中應與具體的實例聯系起來，使學生逐步養成用辯證思維來理解抽象的概念。初中生對函數這一抽象概念的理解是需要時間沉淀和經驗積累的。在函數概念的教學中，應將重點放在概念形成的過程上，原因在于，函數的本質是對應關系。學生通過實例總結歸納出各個變量之間的對應關系正是把握函數實質的過程，是數學思想形成的過程。于教師而言，只有經歷了高等數學和初等數學競賽的洗禮，才能看透初等數學中這些概念的本質，才能引領學生少走彎路。

數學抽象思想的形成是由感性到理性的深入過程，是不斷內化感悟的產物，不可能一蹴而就，而是在長期的積累沉淀中實現的。在教學中，教師應當遵循循序漸進的原則，設計好教學活動，深化抽象思想。

2。3極限思想

極限思想指的是用極限的定義或概念來分析問題、解決問題的一種數學思想。法國數學家柯西提出利用極限定義微積分，用和的極限來表示定積分。數學中的另一分支級數理論也以極限思想為基本工具研究函數。極限思想在大學數學中有著舉足輕重的地位，在數學分析教材中以數列極限、函數極限兩個章節來介紹極限的定義，并以微積分、級數章節來應用極限思想。而在數學競賽中，極限思想也有廣泛的應用。

極限思想在小學階段便有滲透，比如在人教版小學六年級教材中，求解0.9。此階段的小學生便對極限思想有了一定的體會，即“無窮”、“無限接近”的體會。又如圓的概念教學中，將圓分割成正多邊形，當邊數無窮多時，便近似為圓。中學階段利用極限思想解決問題的應用較為普遍，比如在研究圓錐曲線時，離不開對漸近線的研究。學生普遍通過記公式掌握了漸近線的求法，卻很少有學生能準確說出漸近線的含義。在高等數學中，一般地，曲線的漸近線是這樣定義的：若曲線上一動點沿著曲線無限遠離原點時，該點與某一直線的距離無限趨于0，則該直線即為曲線的漸近線。在人教A版高中數學選修2-1教材中，介紹雙曲線的幾何性質時首次提及漸近線，并在教材中指導教師利用信息技術演示雙曲線各支向外延伸時與兩條直線逐漸接近的過程，從而定義雙曲線的漸近線，指出雙曲線與漸近線無限接近，但永不相交。學生認識漸近線的過程實則是滲透極限思想的過程，然而，筆者調查發現，眾多教師為了趕超教學進度，在平時教學中只一句話帶過，指出漸近線就是與雙曲線無限接近但不相交的直線，并給出求解公式。因此，學生很難把握漸近線的本質含義，錯過了滲透極限思想的機會。

3結束語

高等數學思想與初等數學競賽思想的融合并不是難以企及的。在中學教學中，結合數學知識、內容，結合數學實際情景，通過有效的教學手段能夠將融合的數學思想有效應用和滲透于課堂中，并能促進學生思維的發散。融合的思想是高觀點下的思維方式和思考過程，包括但不僅限于聯想的思想、數學抽象思想、極限思想、模型思想。

時代在進步，數學思想的應用也更加廣泛，大數據時代更離不開數學這一基本工具，而中學階段的解題數學思想已經不足以指導和推進思維的發散。因此，將融合的數學思想融入中學的教學，才能使師生開拓思維境界，為社會的發展提前奠定思想的基礎，亦是跟隨發展的大流。

基金項目：廣西民族大學2018年研究生教育創新計劃項目（編號：gxun-chxzs2018047）。

作者簡介：姜瑩瑩（1993.12—），女，浙江衢州人，廣西民族大學理學院學科教學（數學）專業碩士生，研究方向：中學數學教育。

參考文獻

[1] 蔡小雄.更高更妙的高中數學思想與方法[M].杭州：浙江大學出版社， 2018：2.

[2] 趙梓希.基于數學抽象素養的高中數學教學設計研究[D].長沙：湖南師范大學， 2018.

[3] 沙月紅. “數學抽象”素養培養的策略——以函數概念教學的教學設計為例[J].數學之友，2018（06）：43-44+46.

[4] 朱榮武.數學抽象思想的教學化解析及教學策略[J].小學數學教育， 2015（11）：13-15.

[5]田蕊.數學中的極限思想研究[J].科技創新導報，2018，15（22）： 219-221.