試析向量數(shù)量積的多角度應(yīng)用

摘?要：隨著我國(guó)教育教學(xué)改革的深入，中學(xué)引入向量成為數(shù)學(xué)改革的一大特征。向量具有雙重性，可表示為幾何與代數(shù)兩種形式，中學(xué)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)在此處交匯，勢(shì)必深刻影響其他數(shù)學(xué)分支。通過(guò)向量數(shù)量的應(yīng)用不僅可以處理長(zhǎng)度與角度計(jì)算問(wèn)題，也可以就位置關(guān)系處理相關(guān)問(wèn)題。所以向量數(shù)量積被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)各項(xiàng)分支中。

關(guān)鍵詞：向量;數(shù)量積;多角度;應(yīng)用

一、 平面幾何中向量數(shù)量積的應(yīng)用

平面幾何主要涉及長(zhǎng)度、位置關(guān)系以及角度等問(wèn)題，利用向量數(shù)量積這一工具可巧妙解決這些問(wèn)題。在題目解答過(guò)程中，如果可以充分發(fā)揮向量數(shù)量積數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，必定在很大程度上簡(jiǎn)化運(yùn)算，使證明推導(dǎo)更加容易。

【例1】?在三角形ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，如果a·b=b·c=c·a，證明三角形ABC為正三角形。

證明：∵BC=a，CA=b，AB=c，

∴a·b=|a||b|cos（π-C）=-|a||b|cosC，

b·c=|b||c|cos（π-A）=-|b||c|cosA，

c·a=|c||a|cos（π-B）=-|c||a|cosB，

∴|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB，

|a||b|cosC=|b||c|cosA，

|a|cosC=|c|cosA。

由余弦定理可得|a|=|c|，同理|b|=|c|，

所以三角形ABC為正三角形。

二、 立體幾何中向量數(shù)量積的應(yīng)用

在解決立體幾何題目時(shí)應(yīng)用向量數(shù)量積可實(shí)現(xiàn)空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)代數(shù)化，使題目更為直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前。

【例2】?如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，底面為菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°。

（1）證明：C1C⊥BD。

（2）當(dāng)CD/CC1的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請(qǐng)給出證明。

證明：（1）∵CC1·DB=CC1·（CB-CD）=CC1·CB-CC1·CD=|CC1|·|CB|cos60°-|CC1|·|CD|cos60°，

又∵|CD|=|CB|，

∴CC1·DB=0，

∴CC1⊥DB。

（2）從（1）可知BD⊥平面CA1，

∴BD⊥CA1，

所以問(wèn)題等價(jià)于證明：CA1⊥C1D時(shí)，A1C⊥平面C1BD。

設(shè)CD/CC1=λ時(shí)，A1C⊥平面C1BD，令|CC1|=t，

則|CD|=λt。

∵C1D=CD-CC1，CA1=CD+CB+CC1，

∴C1D·CA1=（CD-CC1）·（CD+CB+CC1）=CD2+CD·CD+CD·CC1-CC1·CD-CC1·CB-CC21=λ2t2+1/2λ2t2-1/2λt2-t2=t2（3/2λ2-1/2λ-1）·t2=0，

∴λ=1或λ=-2/3（舍），

∴當(dāng)CD/CC1=1時(shí)，可使A1C⊥C1BD。

三、 解析幾何中向量數(shù)量積的應(yīng)用

【例3】?設(shè)直線l：y=x+b與橢圓C：x2/a2+y2/a2-1=1（a>1）相交于A、B兩點(diǎn)，若l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)，求該橢圓C的方程。

解：由題意可得橢圓C的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），右焦點(diǎn)為F2（1，0），且F1A⊥F1B，

∵由l過(guò)F2，得b=-1，

∴l(xiāng)的方程為y=x-1，

代入橢圓C的方程，得

（2a2-1）x2-2a2x+2a2-a4=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

F1A·F1B=0，

∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，

即（x1+1）（x2+1）+（x1-1）（x2-1）=0，

∴x1x2+1=0。

∴2a2-a4/2a2-1+1=0，

解得a2=2±3。

∵a>1，∴a2=2+3。

∴橢圓C的方程為x2/2+3+y2/1+3=1。

在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，若遇到以二次曲線的弦AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M這類題目，都能通過(guò)“平面幾何中直徑所對(duì)的圓周角為直角”得到∠AMB=90°，也就是MA⊥MB，由此轉(zhuǎn)換成“向量的數(shù)量積為零”。

四、 三角形中向量數(shù)量積的應(yīng)用

諸如兩角差的余弦定理等三角公式，在證明時(shí)若應(yīng)用傳統(tǒng)代數(shù)法，通常十分煩瑣，而向量數(shù)量積則能夠彌補(bǔ)這一缺陷，簡(jiǎn)單快速的完成證明過(guò)程，并且對(duì)于利用向量數(shù)量積解決其他三角形題目同樣能簡(jiǎn)化運(yùn)算，在理解時(shí)也相對(duì)容易。

【例4】?已知cosθ+sinφ=-1，sinθ+cosφ=1，求sin（θ+φ）的值。

解：設(shè)m=（cosθ，sinθ），n=（sinφ，cosφ），

則m2=|m|2=1，n2=|n|2=1，

mn=cosθsinφ+sinθcosφ=sin（θ+φ）。

∵（m+n）2=m2+n2+2mn=2+2sin（θ+φ），

又∵（m+n）2=（cosθ+sinφ，sinθ+cosφ）2=（-1，1）2=2，

∴2=2+2sin（θ+φ），

∴sin（θ+φ）=0。

五、 結(jié)束語(yǔ)

在平面幾何、解析幾何、立體幾何以及三角中，若是均可實(shí)現(xiàn)向量數(shù)量積的合理有效應(yīng)用，必定建立起各課程間的內(nèi)在聯(lián)系，刺激并恢復(fù)學(xué)生原本在腦海中建立的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，加深學(xué)生認(rèn)知，提高學(xué)習(xí)靈活性，并且有利于學(xué)生視野的開(kāi)闊，調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，促進(jìn)其創(chuàng)新發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

談海濤，江蘇省常州市，江蘇省橫林高級(jí)中學(xué)。