“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)實(shí)踐與思考

摘?要：直線與圓的位置關(guān)系對(duì)于高中生解析幾何的學(xué)習(xí)具有承上啟下的作用，它是對(duì)初中平面幾何定性地分析直線與圓的位置關(guān)系的承接和延伸，具體而言就是通過直線與圓的位置關(guān)系，定量刻畫直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系奠定了良好的基礎(chǔ)。它的核心思想方法是數(shù)形結(jié)合并依托坐標(biāo)法來實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，重點(diǎn)是圍繞如何使用坐標(biāo)法解決問題的“基本套路”展開，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成坐標(biāo)法的思維習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);直線與圓;位置關(guān)系

剛進(jìn)高一的新生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，沒有形成一套良好的數(shù)學(xué)思維。在知識(shí)層面，學(xué)生在初中已經(jīng)定性學(xué)習(xí)過直線與圓相交、相切、相離的定義和判定。掌握了求兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方程、圓的方程以及點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間距離公式等。在能力層面，學(xué)生掌握了利用方程組的方法來求直線的交點(diǎn)，具有用坐標(biāo)法研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)。對(duì)于他們來說，解析幾何的學(xué)習(xí)才剛剛開始，對(duì)坐標(biāo)法還處于了解的層次。本文在直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)過程中遵循“以學(xué)生為主”的教學(xué)模式，教師多提問少講話。在必要的時(shí)候，可以借助信息技術(shù)工具（幾何畫板），通過圖形的動(dòng)態(tài)演示為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究提供支持。

一、 通過觀察，判斷直線與圓的位置關(guān)系

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”。筆者在教授直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，通過提問：“直線與圓有什么樣的位置關(guān)系？”學(xué)生們根據(jù)（圖1）往往回答“相交”或者“相切”。這時(shí)筆者再讓同學(xué)們通過觀察（圖2），學(xué)生們回答：“相離。”

利用屏幕分辨率以及視覺誤差，讓學(xué)生意識(shí)到僅僅依靠幾何直觀是無法準(zhǔn)確判定直線與圓的位置關(guān)系。從幾何直觀的局限性出發(fā)，引出課題，讓學(xué)生主動(dòng)尋找新的方法（比如坐標(biāo)法）解決問題，調(diào)動(dòng)了學(xué)生探究學(xué)習(xí)的興趣。

筆者反思：這里可以讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)變化的過程，比如先展示一個(gè)明顯的相離位置關(guān)系，然后逐步縮小直線與圓之間的距離。這樣先肯定幾何直觀在一定條件下是可以判斷直線與圓的位置關(guān)系，然后再暴露其局限性。不能夠?qū)缀沃庇^的方法給予全盤否定。

二、 例題探究互動(dòng)

已知直線l：3x+y=6和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系。

互動(dòng)環(huán)節(jié)：以4人小組為單位，針對(duì)本題目再設(shè)計(jì)1至2個(gè)問題并完成求解，如果遇到困難可以向其他小組尋求幫助。然后在學(xué)生解決例題中位置關(guān)系判定之后，進(jìn)行小組討論。

例如，有的組的想法是在用方程組聯(lián)立的方法基礎(chǔ)上，可以繼續(xù)提出求直線與圓交點(diǎn)坐標(biāo)的問題，還可以繼續(xù)根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)求出弦長。

有的組提出的問題想請(qǐng)其他小組成員幫助與解答：在解決例題中的問題時(shí)，我們采用了圓心到直線的距離這個(gè)方法，那如何繼續(xù)求交點(diǎn)坐標(biāo)和弦長呢？

有的組提出我們雖然不方便在幾何方法的基礎(chǔ)上解決交點(diǎn)坐標(biāo)的問題，但是可以利用垂徑定理求弦長。

筆者反思：課堂上并沒有解決從距離的角度求解點(diǎn)的坐標(biāo)這個(gè)問題。事實(shí)上，從平面幾何的角度，我們是可以計(jì)算出交點(diǎn)到x軸，y軸的距離。讓學(xué)生學(xué)會(huì)選擇合適的方法解決問題。

三、 合作探究——方案設(shè)計(jì)

請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一條過點(diǎn)（2，0）的直線和一個(gè)以（0，1）為圓心的圓，使得直線與圓相交（相離或相切）并談?wù)勀愕脑O(shè)計(jì)思路。

老師提出問題后，留給學(xué)生10分鐘時(shí)間進(jìn)行分組討論。討論過程中學(xué)生和老師一起進(jìn)行小組討論并且隨時(shí)可以使用幾何畫板驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案。討論結(jié)束后，每個(gè)小組選派代表上講臺(tái)陳述方案。

筆者請(qǐng)同學(xué)們觀察黑板上這三組方案，還有哪些可以改進(jìn)和完善的地方？

學(xué)生通過積極思考認(rèn)為第二和第三組的同學(xué)在討論直線斜率的變化過程中沒有考慮k不存在的情況，應(yīng)當(dāng)分類討論。

筆者趁熱打鐵請(qǐng)同學(xué)繼續(xù)觀察這三組方案，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？學(xué)生通過觀察思考?xì)w納如下：

（一） 圓動(dòng)直線定

①定直線不過圓心（3種位置）。

②定直線過圓心（1種位置）。

（二） 圓定直線動(dòng)

①定點(diǎn)在圓外（3種位置）。

②定點(diǎn)在圓上（2種位置）。

③定點(diǎn)在圓內(nèi)（1種位置）。

少了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)，研究只會(huì)浮于表面;少了形的直觀，研究會(huì)相對(duì)抽象晦澀難懂。通過合作探究——方案設(shè)計(jì)這種教學(xué)方式，體現(xiàn)了新課程理念，給學(xué)生鋪設(shè)一個(gè)平臺(tái)，給學(xué)生充分思考的時(shí)間。首先題目是個(gè)開放性的題目，通過探究，讓學(xué)生給出直線與圓不同位置關(guān)系下的設(shè)計(jì)方案，更進(jìn)一步鞏固坐標(biāo)法使用的一般步驟。其次，學(xué)生拿到問題后一般都會(huì)先畫圖再計(jì)算，從形入手解決數(shù)的問題，在探究過程中充分滲透數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想，另外，解析幾何中體現(xiàn)的引入?yún)⒆兞俊⒂眠\(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)和研究問題等，也可以通過這個(gè)方案設(shè)計(jì)問題來引導(dǎo)。

筆者反思：每個(gè)方案展示后，針對(duì)出現(xiàn)的問題討論不夠充分，新的想法展示也不夠。特別是缺少教師針對(duì)性的點(diǎn)評(píng)。題目本身就是個(gè)開放性的問題，那學(xué)生的討論就應(yīng)該更充分，思維火花的碰撞應(yīng)該更激烈。

總之，沒有過程就沒有思維。作為教師要最大限度地給予學(xué)生充分時(shí)間參與課堂提出問題，解決問題。與此同時(shí)，在問題設(shè)計(jì)、設(shè)問方式、問題的探索性以及思維的深刻性上，促進(jìn)學(xué)生全面地觀察問題，深入地思考問題，為學(xué)生提供了更多的交流和合作的機(jī)會(huì)，使學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建，積極參與過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)感覺，真正學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)思維”。從而有利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和探索、開拓、創(chuàng)造精神的培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陶維林.解析幾何教學(xué)要突出坐標(biāo)法思想——“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)反思[J].懷化學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（9）.

作者簡介：

姬慧娟，一級(jí)教師，遼寧省本溪市，遼寧省本溪滿族自治縣高級(jí)中學(xué)。