巧用等價無窮小量求極限

賈松芳 陳彥恒

【摘要】本文給出了無窮小量和差極限中等價無窮小替換定理，并舉例說明它們的應用，對今后學生學習極限是有益的.

【關鍵詞】極限;等價無窮小量;等價替換

【基金項目】該文由重慶市教委科研資助項目（KJ1710254），重慶三峽學院重點項目（14ZD16），重慶三峽學院數學與統計學院教改項目資助.

無窮小量并不是一個很小的數，它是在某個變化過程中極限值為零的函數，能作為無窮小量的數只能是數字0.兩個函數在某一變化過程中為等價無窮小量，是說這兩個函數在此變化過程中為無窮小量，且此變化過程中兩個函數之比的極限值為1;從函數隨自變量的變化趨勢來說是兩個函數趨近于0的速度基本相同.

求極限的方法有多種，包括定義法、分子（母）有理化法、因式分解法以及利用重要極限、洛必達法則、泰勒公式等.這些方法雖然非常實用，可是仍存在不足.比如，洛必達法則，有些復雜函數經過數次求導后，并不會達到簡化計算的目的.同樣，泰勒公式雖然可以解決一部分極限問題，可是在解題過程中對于大多數學生來說還是不容易掌握的，它對過程的要求過于嚴格，一環緊接著一環，并且計算量往往比較大.然而利用等價無窮小量替換定理，見文獻[1，2]，往往簡化某些極限運算的計算過程，給極限求解帶來方便.本文歸納總結等價無窮小量在函數和差極限中的應用，對今后極限的學習是有益的.該文所使用數學符號與文獻[3]保持一致.

一、無窮小量和差極限中的等價替換

由等價無窮小量的替換定理知，乘除法函數的極限中的無窮小可用相應的等價無窮小替換，無窮小和差極限是否可以同時用等價無窮小替換呢？我們得到下面結論：

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]劉玉蓮，傅沛仁，等.數學分析講義（上冊）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]同濟大學數學系.高等數學（上冊）（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.