高等代數視域下對抽象代數的學習經驗探討

王璐陽

【摘要】高等代數作為數學專業的基礎課程，為抽象代數的學習提供了支撐.由于抽象代數較難，所以可以嘗試從高等代數中探尋對抽象代數的理解，本文嘗試著從變換、等價、群、域、環、零因子以及環上的運算規律來闡釋如何通過高等代數來學習抽象代數.

【關鍵詞】高等代數;抽象代數;教學

在代數學科中，高等代數是數學專業課當中的一門較為基礎的課程.學習抽象代數是建立在對高等數學的掌握基礎上的.因此，抽象代數是數學專業的必修課，也是對高等數學中的數域、多項式等概念的高度概括和抽象.同時，高等數學也為抽象代數的學習提供了很多實用的模型.

高等代數與抽象代數之間的關系較為緊密，在數學專業的學生中，很多學生難以理清它們之間的關系，他們認為高等數學較為簡單，抽象數學較難.因此，在抽象數學的學習中可以嘗試使用高等數學中的模型和知識來理解抽象數學中的概念.

一、辨析兩種“交換”概念

在高等數學中，變換的概念一般可表述為：“一個集合A到A的映射稱為A的一個變換”.對這個概念則可以通過舉例的形式讓學生輕易掌握.但是，在教科書上沒有相關的習題，學生可以從網絡上尋找相關習題進行練習.還需要將“變換”的概念同“線性變換”進行區分，既能溫故，又能促進新知識的學習.

二、等價關系

等價關系，屬于集合上的概念，即集合A與另外一個集合B相等，它滿足自反性、對稱性以及傳遞性.這幾種特性在教材中也給出了若干例子.在實際教學中，則需要先將“關系”的概念理解清楚，同時對“非等價關系”進行解釋，這樣就等于從另一個角度對“等價關系”進行了講解.在學習這一概念之前，可以先復習高等代數中關于矩陣的“合同”和“相似”等相關概念.

三、群、環和域概念

在我們的教科書中，作者對群的定義進行了表述，分別給出了第一和第二定義，并且說明了這兩個定義之間的關系，即一致性.學生在學習過程中可以先理解第一定義，然后理解普通加法，進一步研究為何普通乘法在非零集合中都符合第一定義的群概念.然后再導向第三定義.在第三定義中，可以反問自己：Mn（R）關于矩陣加法是群嗎？通過自行翻查資料確定關于矩陣加法和乘法的相關性質以及定義，嘗試去理解相關概念.然后，繼續理解交換律可以在矩陣加法中運用.最后，將相關例子進行梳理，進行總結.

通過群的例子，還可以進一步尋找已經學過的、類似地對環和域的概念進行理解.通過這種方法不僅可以使得學生重新對已學的知識進行復習，還能促進學生對新知識的掌握，使得學生感受到：群、環以及域的概念是對高等代數中的數域、多項式等的進一步概括以及抽象.通過這些方法使得學生明白抽象數學的非抽象性，有助于學生對該學科的學習.

四、零因子

零因子對于數學專業的學生來說是第一次出現在教材上，在高等數學中并沒有相關的概念.教科書是先通過給出n這一整數模型的剩余類環Zn，當n是合數的時候，則一定存在著兩個非零元的元素相乘，其結果卻是零元，并且進一步闡釋了零因子的概念，區分了左零因子和右零因子兩個因子，只有當一個數同時是左零因子和右零因子時，這個數就能稱之為零因子了.這對學生來說仍然具有抽象性，那么可以嘗試著對Mn（R）中兩個非零的矩陣相乘的結果進行思考.如下例1：

通過這個例子闡釋A是環S的左零因子，B則為右零因子.還可以讓學生通過例1來找出矩陣C，并且使得BC=02×2，這樣也就說明了一個環內的右零因子不一定就是左零因子.

五、環上的運算規律

在環上則有兩種運算方式：一種方式稱為加法，另一種則稱為乘法.這兩種方式的運算則可以通過一定的分配律來進行聯系.同時有些環內的運算規則較為復雜和煩瑣，在學習過程中可以使用列表的方式將環內的運算規律以及Mn（R）上的矩陣運算規律加以比較，從而發現環內的運算規律和Mn（R）上的運算規律相符，正確理解環內運算規律.

概言之，高等數學作為數學專業的基礎課程，其知識點可以有效地對抽象代數進行支撐.事實上，抽象代數正是建立在高等數學等一些基礎數學知識之上的，學生學習過程中可以充分采取熟悉的知識來理解和掌握新知識.

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