一類靜電勢方程的后驗誤差上界估計

房明娟，陽 鶯

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004)

Poisson-Nernst-Planck (PNP)方程是由Poisson方程和Nernst-Planck (NP)方程耦合而成的一類重要的非線性偏微分方程系統，常用來描述電擴散模型。該模型在半導體、電化學系統和生物膜通道等方面起著至關重要的作用。

由于PNP方程的耦合性和非線性，該方程的求解較為困難，且只有在極少情況下有解析解。早期的研究者提出了一系列求解PNP方程的方法，包括有限元方法、有限差分方法、邊界有限元方法、有限體積方法等。有限元方法因適用于處理不規則幾何形狀和復雜邊界問題而被廣泛應用，在求解某些生物分子系統PNP方程取得了很好的效果。但是有限元計算的主要難點之一是實際問題的分子電荷很多，使得PNP方程具有強奇性，從而使經典的有限元方法無法有效應用于實際計算，而自適應有限元方法是當前廣泛使用的解決奇性問題的最有效的方法之一。

近年來，自適應有限元方法得到了極大的發展[1]，利用自適應有限元方法可以在很大程度上提高計算性能。自適應有限元方法通過計算每個單元上的后驗誤差估計子獲得每個單元的誤差范圍，從而對網格進行局部加密和放粗，提高計算效率，因此其在科學和工程計算中有著十分重要的應用價值。

后驗誤差估計作為自適應有限元計算的核心步驟，通常被作為自適應有限元方法中網格加密或放粗的指示子，后驗誤差估計的方法可以為自適應有限元方法的網格加密提供一個有效的加密策略。后驗誤差估計子包括多種類型，通過計算局部區域殘量得出誤差估計的方法稱為殘量型后驗誤差估計[2]。Babuska等[3]于1986年最早提出了殘差法。Zienkiewicz等[4]在1987年提出了基于后處理技術的后驗誤差法，由于其計算簡單，易于理解，因而受到研究者的極大關注。如文獻[5]在不規則網格中研究了一類Poisson方程有限元逼近的梯度恢復型后驗誤差估計。文獻[6]研究了非協調有限元逼近的梯度恢復型后驗誤差估計。為此，利用梯度恢復算子，采用后處理方法，對PNP方程中的靜電勢進行后驗誤差上界估計。

1 預備知識

其中，1≤p≤∞。Lp(Ω)空間的范數為

當p=2時，L2(Ω)為偏微分方程中一重要空間，該空間內積為

定義廣義導數Dαv為

Sobolev空間Wm,p(Ω)為

Wm,p(Ω)={v:Dαv∈Lp(Ω),|α|≤m},

范數為：

半范數為：

考慮如下穩態PNP方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2 上界估計

為了方便證明，令Th={τ}為Ω上進行的均勻的三角剖分的網格，且網格大小h>0，hτ為單元τ的直徑，hl為三角形單元落在邊界?Ω上的邊長度，?2Th為網格上所有節點的集合，Λ=?2Th?Ω，φz為Sh中節點z∈?2Th處的基函數，則對任意的z∈?2Th，l∈?Th,τ∈Th，有

引理2[9-10](Poincare不等式) 設Ω為邊界?Ω上Lipschitz連續的有界區域，則存在正常數C，使得

‖u‖0,p,Ω≤C‖u‖0,p,Ω+

‖u‖0,p,Ω≤C‖u‖0,p,Ω，?u∈W1,p(Ω)，

其中，

(6)

根據方程(5)可得

(7)

(Ghφh,-(πhw-w))=

(8)

將式(8)代入式(7)，并應用引理1可得

div(Ghφh)‖0,τhτ+‖φh-Ghφh‖0,τ)‖w‖1,wτ+

令w=φ-φh，應用Poincare不等式，可得到定理1的結論。證畢。

利用定理1的后驗誤差估計子，可設計出PNP方程的一類自適應有限元算法。

1)有限元計算。在初始網格T0上進行有限元計算，得到有限元解φh。

2)誤差估計。在每個單元τ∈T0上計算后驗誤差估計子ητ。

算法1通常取θ=1/2，δ為給定的精度。應用算法1，根據所證得的有效的后驗誤差估計子，便可得到更為精確的解。

3 結束語

利用梯度恢復型方法，給出了PNP方程中靜電勢方程的后驗誤差上界估計，構造了靜電勢方程的后驗誤差估計子，設計了相應的自適應有限元算法。而對于基于梯度恢復型后驗誤差估計子設計的自適應有限元算法，后續工作將通過數值實驗驗證其有效性。