偶合KdV方程的行波解分支

全壽湘，趙海霞，唐生強

(1.桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學 廣西密碼學與信息安全重點實驗室，廣西 桂林 541004)

在非線性波研究中，偶合KdV方程為[1]：

qt+aqnqx+brmrx+βqxxx=0；

(1)

rt+kqlrx+αrxxx=0。

(2)

其中，q=q(x,t),r=r(x,t)，a、b、α、β、k為非零常數，l、m、n為正整數。偶合KdV方程是描述雙層淺水波動力學的主要模型，能解釋諸如漏油事件引起的雙層流體的物理現象。Krishnan等[1]用圖方法推導了偶合KdV方程解的結構，討論了在非線性冪律的情形下，當方程僅有1個或2個非線性冪律參數支持拓撲孤子解或激波解時，該方程有拓撲孤子解，并用乘方法推出守恒定律，以此求出偶合KdV方程的守恒量，但其并未研究該方程的行波解的動力系統分支性態。為此，研究l=m=n條件下偶合KdV方程行波解的動力系統分支性態，并給出在這個系統的參數空間的所有行波解。

1 偶合KdV方程的動力系統

令r(x,t)=σq(x,t),σ≠0，l=m=n，則式(1)、(2)可化為：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

顯然，式(7)是一個Hamilton系統，它的首次積分為

(8)

系統(7)是一個五參數空間(k，n，α，c，g)的平面自治動力系統，對一個固定的α和不同的n、k，研究當參數c、g變化時，在相平面(φ,y)內系統(7)的相圖的分支。由于所考慮的物理模型對有界行波解才有意義，僅關注系統(7)的有界解。

2 系統(7)的相圖分支

只討論α>0，k>0時的情形，若α<0或k<0，則可作α→-α，k→-k，c→-c，g→-g變換，將其轉化為原系統。記

有

當f(φ0)<0時，系統(7)無奇點；當f(φ0)>0，c>0，f(0)=g>0或g<0時，系統(7)存在2個奇點：Si(φi,0),i=1,2,φ1<0<φ2或0<φ1<φ2；當f(φ0)>0，c<0，f(0)=g>0或g<0時，系統(7)存在2個奇點：Si(φi,0),i=1,2,φ1<0<φ2或φ1<φ2<0。

在(c，g)參數平面分別隱含下述關系：

假設M(φi，yi)是系統(7)的線性化系統在奇點(φi，yi)的系數矩陣，則有

由平面動力系統理論可知，對一個平面自治可積系統的奇點：若J<0，則奇點是一個鞍點；若J>0，且tr(M(φi,yi))=0，則奇點是一個中心點；若J>0，且(tr(M(φi,yi)))2-4J(φi,yi)=0，則奇點是一個結點；若J=0，且奇點的指標為0，則奇點是一個高階奇點。

對式(8)所定義的函數H(φ,y)，記

在(c，g)參數平面，系統(7)的相圖分支曲線Li,i=1,2,3，直線g=0和c=0將參數空間劃分成若干個區域，如圖1所示。

圖1 k>0時，系統(7)在(c,g)參數平面內的分支曲線

當n=2l1-1時，A2區域無奇點，系統(7)相圖

如圖2所示。

當n=2l1時，B1與B4、B2與B3、B5與B6區域的相圖分別關于y軸對稱，如圖3所示。

3 當n=1，n=2，g≠0時，方程(5)的顯式精確行波解

3.1 n=1時方程(5)的顯式精確行波解

當n=1時，對系統(7)，分支曲線如圖1(a)所示。

圖2 n=2l1-1時系統(7)的相圖

當(c,g)∈A1時，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h,h∈(h2,h1)有代數方程：

(9)

由式(9)可得，

解之得周期波解：

當(c,g)∈A1時，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h1為系統(7)過奇點(φ1,0)的同宿軌，其代數方程為

(10)

由式(10)可得,

解之得孤立波解：

3.2 n=2時方程(5)的顯式精確行波解

當n=2時，對系統(7)，分支曲線如圖1(b)所示。圖3中B1與B4、B2與B3、B5與B6的相圖分別關于y軸對稱，因此只討論(c,g)∈B1，(c,g)∈B2，(c,g)∈B5的精確解。

當(c,g)∈B1，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h,h∈(h1,+∞)有代數方程：

(11)

由式(11)可得

解之得周期波解：

φ(ξ)=

其中，

當(c,g)∈B2，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h，h∈(h1，h3]及h∈(h2,+∞)的代數方程形同式(11)，故其解的情形與(c,g)∈B1相似，此處不再贅述。由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h，h∈(h3,h2)有代數方程：

φD<φE<φF<φG。

(12)

由式(12)可得，

解之得周期波解：

φ(ξ)=

其中，

由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h2為系統(7)過奇點(φ2,0)的同宿軌，其代數方程為：

(13)

由式(13)可得，

解之得孤立波解：

φ(ξ)=

當(c,g)∈B5，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=h，h∈(h1，+∞)的代數方程形同式(11)，故其解的情形與(c,g)∈B1相似，此處不再贅述。

4 g=0時方程(5)的顯式精確行波解

4.1 方程(5)的孤立波解

當c>0時，由式(8)所定義的軌線H(φ,y)=0為系統(7)過奇點(0,0)的同宿軌(圖2(b)，圖3(g))，其代數方程為

(14)

由式(14)可得，

解之可得

當n=2l1時，

當n=2l1-1時，

當c<0，n=1時，由(8)所定義的軌線H(φ,y)=h1為系統(7)過奇點(φ1,0)的同宿軌(圖2(c))，φ1=2c/k，其代數方程為

(15)

由式(15)可得

解之得孤立波解：

4.2 方程(5)的周期波解

當n=1時，由式(8)所定義的H(φ,y)=h，h∈(h2,h1)(圖2(b)、(c))的代數方程形同方程(9)，故其解與之相似，此處不再贅述。

當n=2,c>0時(圖3(g))，由式(8)所定義的H(φ,y)=h，h∈(h1,0)有代數方程：

0<φM<φN。

(16)

由式(16)可得

解之得周期波解：

φ(ξ)=

由式(8)所定義的H(φ,y)=h，h∈(0,+∞)有代數方程：

(17)

由式(17)可得，

解之得周期波解：

當n=2,c<0(圖3(h))，由式(8)所定義的H(φ,y)=h，h∈(0,+∞)的代數方程形同方程(17)，故其解的情形與之相似，此處不再贅述。

5 方程(4)的光滑孤立波解和無窮多光滑周期波解

2)若n=2l1-1，g=0，則相對于由(7)所定義的曲線H(φ,y)=h1的分支，方程(4)有1個光滑峰形孤立波解；相對于由系統(7)所定義的曲線H(φ，y)=h，h∈(h2,h1)的分支，方程(4)有一族光滑周期波解(見圖2(b)、(c))。

3)若n=2l1，c>0，g=0，則相對于由系統(7)所定義的曲線H(φ,y)=0的分支，方程(4)有2個光滑孤立波解，分別為谷形光滑孤立波解和峰形光滑孤立波解；相對于由系統(7)所定義的曲線H(φ，y)=h，h∈(h1,0)及h∈(0,+∞)的分支，方程(4)有2族光滑周期波解(見圖(3(g)))。

4)若n=2l1，c<0，則相對于由系統(7)所定義的曲線H(φ，y)=h，h∈(h1,+∞)的分支，方程(4)有1族光滑周期波解(見圖3(e)、(f)、(h))。

一般地，在g≠0，h≠0情況下，使用首次積分式(8)和系統(7)的第一個方程，不可能得到方程(4)的用參數表示的顯式精確行波解。

6 結束語

利用平面動力系統理論，分析系統(7)在給定參數區域內的分支情況，并作出相應的相圖。結合相圖，得到了幾種參數區域下偶合KdV方程的有界行波解的參數表達式。得到了不同參數條件下，偶合KdV方程存在孤立波解和無窮多光滑周期波解的充分條件。