AP微積分教學(xué)理念對(duì)數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的啟發(fā)

姚林紅 李慧生

【摘要】數(shù)學(xué)分析是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門最核心的基礎(chǔ)主干課程.這門課程中有很多定理和公式的證明與應(yīng)用，用傳統(tǒng)講法，既費(fèi)時(shí)，又不容易讓學(xué)生理解和掌握.將AP微積分教學(xué)理念融入數(shù)學(xué)分析的教與學(xué)中，不僅可加深學(xué)生對(duì)內(nèi)容的理解與掌握，同時(shí)能夠提高學(xué)生解決問題的能力和創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析;AP微積分;教學(xué)改革

【基金項(xiàng)目】中北大學(xué)院級(jí)教改項(xiàng)目，中北大學(xué)校基金（5001-204）國(guó)家自然基金（61603351，11401541）.

數(shù)學(xué)分析[1]是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的最核心的基礎(chǔ)主干課程之一，課程內(nèi)容豐富、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、層次繁多.它不僅是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生進(jìn)校后首先面臨的一門重要課程，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程、復(fù)變函數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、實(shí)變函數(shù)與泛函分析等后繼數(shù)學(xué)類課程的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)分析的課程教學(xué)還直接影響到培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思想、邏輯推理能力以及綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、數(shù)學(xué)分析課程的現(xiàn)狀以及存在的問題

基于數(shù)學(xué)分析課程的基礎(chǔ)地位，在數(shù)學(xué)分析的長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐中，人們一直都在努力實(shí)現(xiàn)本課程的教學(xué)目標(biāo)——“三基”，即基礎(chǔ)理論、基本知識(shí)、基本技能.“三基”強(qiáng)調(diào)在教學(xué)的過程中，基礎(chǔ)理論、基本知識(shí)、基本技能處于同等重要的地位.然而，實(shí)際的情況是，教師在教學(xué)內(nèi)容上，側(cè)重于對(duì)定義、定理、公式的講解，片面強(qiáng)調(diào)知識(shí)的系統(tǒng)性，而忽視學(xué)生的基本技能的培養(yǎng).我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學(xué)系的學(xué)生在微積分知識(shí)的應(yīng)用能力上，在基本計(jì)算技能如計(jì)算極限、導(dǎo)數(shù)、積分上往往不如對(duì)高等數(shù)學(xué)有較高要求的一些非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，而對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)掌握、對(duì)基本理論的理解又讓人堪憂.于是，數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)實(shí)質(zhì)上陷入了學(xué)生對(duì)微積分的基本理論掌握不夠、邏輯推理能力不強(qiáng)、基本計(jì)算能力較差的尷尬境地.

同時(shí)，隨著時(shí)代的發(fā)展和科技的進(jìn)步，學(xué)科的交叉與應(yīng)用越來越廣泛和深入，比如，大數(shù)據(jù)、人工智能等都需要應(yīng)用型數(shù)學(xué)人才.因此，為適應(yīng)當(dāng)前教學(xué)改革和素質(zhì)教育的需要，培養(yǎng)大批專業(yè)實(shí)踐和創(chuàng)新能力都較強(qiáng)的應(yīng)用型數(shù)學(xué)人才[4]，對(duì)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)改革勢(shì)在必行.如何在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中實(shí)施研究性教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的研究和創(chuàng)新能力，顯得尤為重要.

二、數(shù)學(xué)分析課程的改革內(nèi)容

始于1955年的美國(guó)AP課程（Advanced Placement Courses），即在高中階段開設(shè)具有大學(xué)水平的課程以供學(xué)有余力的學(xué)生在高中階段就能學(xué)習(xí)大學(xué)課程.AP微積分教學(xué)重點(diǎn)在微積分的理解和應(yīng)用，教材比較重視與實(shí)際相聯(lián)系，語言通俗易懂，使微積分變得簡(jiǎn)單易學(xué).AP微積分強(qiáng)調(diào)圖像、數(shù)值、符號(hào)及語言四個(gè)方面多角度刻畫微積分，使學(xué)生從整合的表征中獲取更多的信息.AP微積分強(qiáng)調(diào)微積分技能不僅代數(shù)操作，還包括解決實(shí)際問題、畫草圖、求解、作圖、估計(jì)、確定及計(jì)算等方面.AP微積分理念力圖改變傳統(tǒng)微積分以運(yùn)算技巧為主的教學(xué)思想，提倡學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)建模來體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和應(yīng)用過程.

將AP微積分教學(xué)理念引入數(shù)學(xué)分析的教學(xué)實(shí)踐中，首先，借助現(xiàn)代化的教學(xué)工具，在教學(xué)中將數(shù)學(xué)分析中一些抽象的難以理解的概念和分析過程（比如，極限、連續(xù)、積分等等）多角度地直觀刻畫展示，并盡可能在計(jì)算機(jī)上以動(dòng)態(tài)的方式顯示給學(xué)生.對(duì)適合用多媒體技術(shù)教學(xué)的章節(jié)制作多媒體課件，配合黑板，靈活多樣地進(jìn)行教學(xué)，以克服抽象、難于理解的困難.其次，在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)?shù)乩脭?shù)學(xué)軟件求導(dǎo)數(shù)、求積分等運(yùn)算，并可以進(jìn)行圖像繪制，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力和解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)化解求導(dǎo)數(shù)、求積分等數(shù)學(xué)運(yùn)算的困難，使學(xué)生有更多的精力來理解數(shù)學(xué)概念和邏輯推理.最后，考慮建模思想的融入.課堂上強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與相鄰學(xué)科聯(lián)系的同時(shí)，加強(qiáng)建立數(shù)學(xué)模型的思想和訓(xùn)練，增加實(shí)際應(yīng)用內(nèi)容，將微積分在經(jīng)濟(jì)、物理、生物、生產(chǎn)中的應(yīng)用問題引入課堂，使學(xué)生學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，了解利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和創(chuàng)新能力，使學(xué)生適應(yīng)21世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng).

舉例1 二元函數(shù)極限——沿著不同路徑趨于原點(diǎn)，由于平面和一維數(shù)軸的本質(zhì)區(qū)別使得二元函數(shù)極限有無窮多種可能性，這讓學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)感到有較大的困難，課堂教學(xué)時(shí)可以通過舉例多角度理解概念，讓學(xué)生更直觀地體會(huì)二元函數(shù)極限的概念和計(jì)算方法，可以主動(dòng)去體驗(yàn)如何發(fā)現(xiàn)、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.例如，[2]

舉例2 積分的幾何意義——平面圖形的面積，可以采取一個(gè)數(shù)值逼近的方法，做成一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，這樣使得教學(xué)過程更加直觀，更加富有啟發(fā)性，既能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，又有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).

舉例3 不定積分、級(jí)數(shù)求和的時(shí)候，在不影響教學(xué)計(jì)劃的情況下，恰當(dāng)利用Matlab、Mathematica等軟件進(jìn)行計(jì)算，將相應(yīng)的軟件代碼介紹給學(xué)生，淡化計(jì)算技巧.

舉例4 在講解導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時(shí)，可以設(shè)置開放性題目，比如，導(dǎo)彈的飛行規(guī)律、人口問題等等.在講到積分的應(yīng)用時(shí)，可以設(shè)置通信衛(wèi)星的覆蓋面積、不規(guī)則圖形的面積等題目.在多元函數(shù)微分中，可以布置曲線的擬合、河水的污染與凈化等問題.在級(jí)數(shù)內(nèi)容中，介紹斐波那契數(shù)列、藥物問題、諧波的疊加等內(nèi)容[3].對(duì)這些開放性的題目，學(xué)生可以通過小組討論、試驗(yàn)等方式認(rèn)識(shí)問題，并要求將題目的求解過程以書面的形式提交.這樣不僅擴(kuò)大了學(xué)生的知識(shí)面，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力、團(tuán)隊(duì)合作精神和創(chuàng)新思維，而且使學(xué)生感受到原來所學(xué)的東西跟實(shí)際問題是貼近的，從而有了一種成就感.

三、總 結(jié)

通過上面所舉的幾個(gè)例子我們可以看到，引入AP微積分理念不僅顯著增強(qiáng)了學(xué)生利用數(shù)學(xué)分析、解決實(shí)際問題的能力，而且通過計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用可以將教學(xué)過程中難以理解的內(nèi)容和過程（比如，極限、積分、一致收斂等等）形象化、直觀化，通過生動(dòng)、形象的實(shí)例與圖形展示基本概念與理論，讓學(xué)生主動(dòng)去體驗(yàn)如何發(fā)現(xiàn)、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的實(shí)驗(yàn)動(dòng)手能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力.

我們改革的目標(biāo)是，使數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容變得平實(shí)、自然、有用、有趣.要把數(shù)學(xué)分析從一個(gè)高深莫測(cè)、苦澀乏味、讓人望而生畏的舊體系中解放出來，還它樸實(shí)的本來面目，以更好地體現(xiàn)它的基本精神、基本內(nèi)容.在數(shù)學(xué)分析這門課程在教學(xué)中實(shí)施研究性教學(xué)改革，以重視學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位為前提，努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐創(chuàng)新能力.不僅可以提高數(shù)學(xué)分析的教學(xué)質(zhì)量，也為其他相關(guān)教學(xué)質(zhì)量的提高奠定了良好的基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]James Stewart.Calculus：第4版[M].ITP，1999.

[3]李聲鋒，張?jiān)Ｉ芳t.將數(shù)學(xué)建模思想融入《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)的探索與實(shí)踐[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（7）：247-248.

[4]毛安民，孫欽福，張克梅，等.數(shù)學(xué)分析專業(yè)基礎(chǔ)課程教學(xué)改革的探索[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2018（3）：117-119.