輔助函數構造法證明微分中值定理及其應用

董姍姍，齊 雪

在工科高等數學的教學過程中，微分中值定理及其應用內容多、理論性強，是高等數學教學過程中的重點和難點.掌握微分中值定理對進一步學習高等數學的后續內容起著重要作用.國內外高等數學教材在闡述微分中值定理的證明過程中，大部分是直接引進符合該定理條件的輔助函數，再利用羅爾定理加以證明.采用的方法有利用距離構造輔助函數［1］，利用面積構造輔助函數［2］，利用坐標軸旋轉構造輔助函數［3］，利用積分中值定理的推廣來證明［4］，以及利用微分函數構造輔助函數［5］等.

函數與其導函數是兩個不同的函數，其中導數所反映的是函數在某點的局部特征，因此僅依靠導數難以把控函數在定義域上的整體性質和狀態.然而微分中值定理精確表達了函數與導數之間的關系，在函數和導數之間架起了橋梁，為導數的應用奠定了理論基礎.教材中一般對于如何選取輔助函數的問題都沒有詳盡的說明，導致學生在學習過程中摸不到頭腦，抓不住問題的主體脈絡.目前，高校學生的學習積極性普遍不高［6］，因此迫切需要高校教師進一步優化教學思路，改進教學方法.本文從羅爾中值定理的應用出發，明確羅爾中值定理證明問題構造輔助函數的解題思路，將該方法知識遷移，自然地構造出證明拉格朗日中值定理與柯西中值定理的輔助函數，從而證明出相應結論并給出相應的例題.

1 微分中值定理的證明

1.1 羅爾中值定理的證明

定理1設函數f(x)滿足：（1）在[a,b]上連續；（2）在（a,b）內可導；（3）f(a)=f(b)；則至少存在一個點ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0.

證明含有f′(ξ)的恒等式一般都會采用羅爾中值定理，但要構造輔助函數F(x)，使得F(x)滿足中值定理的條件.

構造輔助函數的步驟如圖1所示.

圖1 羅爾中值定理輔助函數構造圖

例1 設函數f(x)在［0，1］上連續，且在（0，1）內可導，且f(0)=1,f(1)=0.證明：至少存在一個點ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=-1.

分析：結論中需要證明f′(ξ)=-1，用羅爾中值定理來解決.根據步驟a將f′(ξ)=-1移項得f′(ξ)+1=0 ；將ξ用x代替得f′(x)+1=0 ；f′(x)+1可以由f(x)+x求導而來，則輔助函數F(x)=f(x)+x.

證明 令F(x)=f(x)+x，因為函數f(x)在［0，1］上連續，且在（0，1）內可導，因此F(x)在［0，1］上 連 續 ，在（0，1）內 可 導 ；又 因 為f(0)=1,f(1)=0，因此F(0)=f(0)+0=1，F(1)=f(1)+1=1，從而有F(0)=F(1)=1；由羅爾中值定理可得至少存在一個點ξ∈(0,1)，使得F′(ξ)=0 ，即f′(ξ)=-1.

a→b→c可以構造出解決這類問題的關鍵即輔助函數，從結論出發，引導學生逆向分析問題，挖掘出題目中的有效信息，得到解決問題的關鍵點.利用輔助函數的構造思路，可以應用到拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明當中.

1.2 拉格朗日中值定理的證明

定理2若函數f(x)滿足：（1）在[a,b]上連續；（2）在 (a,b)內可導；則至少存在一個點ξ∈(a,b)，使得

1.3 柯西中值定理的證明

根據上述羅爾中值定理的應用以及拉格朗日中值定理的證明，讓學生在掌握輔助函數構造方法的同時，也獲取了微分中值定理中的第二個定理（拉格朗日中值定理）的知識，從而形成知識網絡；深度挖掘定理之間的關系，掌握定理的證明方法.

對于柯西中值定理的證明可以在教學過程中嵌入翻轉課堂的方法.在翻轉課堂中，學生作為學習的主體，是主動內化知識的自主學習者；教師提供資源并輔助學生，指導學生更好更快地掌握知識［7］.以拉格朗日中值定理證明作為已有知識支撐，柯西中值定理的證明核心思路不變，但具體證明過程又與拉格朗中值定理的證明方法有所不同.利用柯西中值定理證明激發學生內化知識的能力，能動的將所學知識運用于解決新問題.

定理3若函數f(x),g(x)滿足：（1）在[a,b]上連續；（2）在（a,b）內可導；則至少存在一個點ξ∈(a,b)，使得

鼓勵學生上講臺來講解柯西中值定理的證明過程.針對柯西中值定理的結論，學生自然地會運用上述輔助函數的構造方案來解決問題.但對于導函數商的原函數不易確定，因此可以引導學生將其進行如下變形：

證明令F(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-

f(a)]，因為函數f(x),g(x)在[a,b]上連續，在（a,b）內可導，因此F(x)在[a,b]上連續，在（a,b）內可導；又因為

即F(a)=F(b)；由羅爾中值定理可得至少存在一個點ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0，即f′(ξ)[g(b)-g(a)]-g′(ξ)[f(b)-f(a)]=0 ，亦即

2 微分中值定理的應用

在上面的論述過程中，要使羅爾定理成立，函數需要滿足三個條件：①閉區間連續；②開區間可導；③區間端點處函數值相等.羅爾定理的結論為：在開區間內存在一點使得函數在該點的導數值為0.下面以一個具體例子，對羅爾定理的具體應用進行說明.

例2證明方程5ax4+4bx3+3cx2+2dx=a+b+c+d至少存在一個正根.

分析：令f(x)=5ax4+4bx3+3cx2+2dx-(a+b+c+d)在x＞0時，找不到區間[a,b]使得f(a)?f(b)＜0，不能使用零點定理.因此構造函數由于要證明方程至少存在正根，因此需要在x＞0的范圍內找到區間[a,b]，使得F(a)=F(b)，通過觀察方程F(x)=ax5+bx4+cx3+dx2-(a+b+c+d)x的系數，不難發現F(0)=F(1)，選取[a,b]=[0,1]，此時再對F(x)應用羅爾定理即可證明.

證明：令f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2-(a+b+c+d)x，則f(x)在區間[0,1]上連續，在(0,1)可導，f(0)=f(1)，所以由羅爾定理可知，至少存在一個點ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=0 ，即5ax4+4bx3+3cx2+2dx-(a+b+c+d)=0，亦即方程5ax4+4bx3+3cx2+2dx=a+b+c+d至少存在一個正根ξ∈(0,1)，所以定理成立.

例2給出了利用羅爾定理對方程證明的例子，下面兩個例子對拉格朗日中值定理和柯西中值定理的學習有很好的啟發作用.

例3證明：當x＞0時，不等式ln(1+x)＜x成立.

分析：由x＞0可知其中，從上式觀察得出，不等式中存在函數值之差，因此考慮采用拉格朗日中值定理.

證明：令f(x)=ln(1+x)，則函數f(x)滿足在[0,x]連續，在(0,x)上可導.應用拉格朗日中值定理可得. 即，從而可以得到

又 0＜ξ＜x，即故.因 此成立，不等式得以證明.

例4 設0＜a＜b，函數f(x)在[a,b]上連續、在(a,b)上可導，試證在(a,b)內至少存在一點ξ，使成立.

分析：從要證明的等式可以看出，等式左邊為兩個函數值的差值，右邊存在，由此考慮到將等式變形為由此可見，可以采用柯西中值定理來證明.

證明 設G(x)=lnx，根據題意可知：函數f(x),G(x)滿足在[a,b]上連續、在(a,b)上可導.由柯西中值定理可知，在區間(a,b)內存在一點ξ使得，即，從而等式成立.

3 結論

在大多數高數教材中，拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明都是直接給出輔助函數，利用題設條件驗證輔助函數是否滿足羅爾中值定理，最終推出結論.但從學生的角度看，教材給出的輔助函數突然呈現在證明過程中，在學習掌握羅爾中值定理之后形成知識結構的斷層，沒能將前后知識進行良好的銜接，長此以往勢必會加劇學生對數學的恐懼與排斥.通過上述輔助函數構造思路，可以啟發學生將構造輔助函數的知識進行知識遷移，利用羅爾中值定理可以證明出后面兩個微分中值定理，層層遞進，形成知識網絡，扎實掌握這部分的內容，并可以靈活運用.本文從相對簡單的羅爾定理出發，輔助函數構造思想清晰明確，可以較為容易的完成后續的拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明，提高微分中值定理的教學效率.