Shearlet變換在圖像重建中的應用

權雪寧，何文章，冀東江

（天津職業(yè)技術師范大學理學院，天津 300222）

CT 層析成像技術是指通過從物體外部檢測到的數據重建物體內部（橫截面）信息的技術，也叫計算機輔助斷層成像技術[1]。目前主要的CT 重建算法有解析法[2]和迭代法[3]。解析類重建算法具有較低的時間復雜度，但在投影數據不充分的情況下重建得到的圖像質量非常差，濾波反投影算法（FBP）是解析重建算法中應用最廣泛的一種。目前運用較多的迭代類重建算法有代數重建算法（ART）[4]、聯(lián)合迭代重建算法（SIRT）[5]和聯(lián)合代數重建算法（SART）[6]。Gordon 等[4]于 1970年提出ART 算法，該算法收斂速度快，但在數據不完全或有噪聲的情況下，重建質量不佳；Gilbert[5]于1972年提出SIRT 算法，該算法收斂性好，但其收斂所需的迭代次數多，計算成本高；Andersen 等[6]于 1984年提出SART 算法，該算法是SIRT 和ART 的一種折衷，其迭代次數少，重建質量高[1]。近些年關于對圖像重建進行去噪的研究也取得了一些成果[7-9]。相對于FBP 算法，SART 算法在有限角度下能較好地抑制圖像中含有的偽影和噪聲，然而卻并不能完全去除重建圖像中的噪聲，進而影響了對圖像的理解和分析。

針對這一問題，本研究利用Shearlet 變換對重建圖像去噪。Shearlet 變換是近年來提出并逐漸成熟的超小波中的一種，克服了傳統(tǒng)小波缺乏方向表達的缺點，同時能采用相同的方式處理離散和連續(xù)數據。Shearlet 變換是一種多尺度幾何分析工具，可以看作是小波變換的一種改進。從本質上來說，Shearlet 變換存在著多尺度的規(guī)律，它能夠對圖像進行稀疏表示且產生最優(yōu)逼近[10]。本文分別在[0°，150°]、[0°，160°]和[0°，170°]范圍內，采用 SART 算法和 FBP 算法對經典Shepp-Logan 模型進行初步重建，對于FBP-Shearlet算法，就是將FBP 算法重建結果進行Shearlet 變換閾值去噪，得到更新后的重建圖像；區(qū)別于FBP-Shearlet算法，SART-Shearlet 算法則需要將Shearlet 去噪后的重建圖像作為SART 算法的初值繼續(xù)交替迭代。本文將對Shearlet 變換閾值去噪和SART-Shearlet 算法進行詳細介紹。

1 算法介紹

1.1 SART算法

CT 圖像重建的實質是對線性方程組的求解，也可以表示為：

式中：A=aij為 M ×N 的系統(tǒng)矩陣，aij為第 j 個像素對第i 條射線投影值的貢獻；p∈RM為探測器經過必要處理后采集的投影數據；f∈RN為被測對象的線性衰減系數。

SART 算法是一種聯(lián)合代數重建技術，其迭代公式為[6]：

1.2 Shearlet變換

Guo 等[10]通過對仿射系統(tǒng)理論和多尺度分析理論的理解，提出合成小波的數學表達模型。從本質上來說，Shearlet 變換存在著多尺度的規(guī)律，對母函數做尺度調整以及平移，調整尺度參數以及平移距離的取值得出一組Shearlet 的基函數，利用基函數對信號進行處理，能對信號進行多尺度的分析。

當維度N=2，任取平方可積的連續(xù)函數f，即?f∈L2（R2）時：

從而形成了Parseval 緊框架，所提出的φj，l，k（x）即為合成小波。在系統(tǒng)MAB（φ）中，矩陣Aj與尺度變換存在一定的聯(lián)系，相當于小波變換中的尺度參數，而矩陣Bl與旋轉剪切等操作存在相關性。

Shearlet 變換則是從上述模型中衍生出來的，若滿足如下條件：

則系統(tǒng)MAB（φ）是Shearlet 變換的表達形式。

對于函數f∈L2（R2），定義其連續(xù)Shearlet 變換為：

可以通過Shearlet 系數進行反變換重構原始函數f：

1.3 SART-Shearlet算法實現步驟

采用Shearlet 變換閾值方法[11]對SART 算法重建圖像結果進行去噪，稱該方法為SART-Shearlet 算法。

其中Shearlet 變換閾值去噪方法的實質是將重建圖像經過Shearlet 變換得到相應的Shearlet 系數，采用閾值函數去除較小的Shearlet 系數，保留較大的部分，從而達到去除噪聲的目的。再對得到的新的Shearlet系數進行Shearlet 反變換，得到去噪后的圖像。

②通過閾值函數對Shearlet 變換系數進行閾值化處理，保留大于閾值的Shearlet 變換系數，舍棄小于閾值的Shearlet 變換系數。處理過程如下：

其中，

③對閾值函數處理后的Shearlet 變換系數Cnew（j，l，k）進行Shearlet 反變換，恢復去噪后的有效數據 f′：

SART-Shearlet 算法有 2 個步驟：SART 步驟和Shearlet 變換去噪步驟。將這2 個步驟依次迭代得到去噪圖像。SART-Shearlet 算法包括：

①初始化：

SART 步驟中將循環(huán)迭代次數記為N1，迭代指標K∈[1，N1]，松弛因子為 λ，f(1)=0。

②SART 步驟：

利用公式（2），對圖像f 進行一次迭代。

③Shearlet 變換步驟：

將一次迭代結果代入式（9），經過Shearlet 正變換和閾值處理，得到新的Shearlet 變換系數Cnew（j，l，k），又經過Shearlet 反變換，得到去噪后的有效數據f′。

④交替迭代步驟：

將去噪后的有效數據f′返回步驟②、③，交替迭代，直到滿足重建圖像質量要求，停止迭代。

2 實驗結果及分析

為了驗證Shearlet 變換對有限角CT 重建圖像去噪效果的可行性和有效性，本文對Shepp-Logan 頭部模型進行仿真模擬，所有算法均采用Matlab 軟件在PC 機（4.0 GB 內存，3.4 GHz CPU）上實現。為了評價Shearlet 算法在有限角重建圖像中的有效性，在相同有限角度范圍內對 FBP-Shearlet 算法和SARTShearlet 算法進行客觀的對比評價。

本文選用峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）和均方誤差（mean square error，MSE）作為評價圖像質量的客觀評價指標,其計算公式如下：

式中：MAXI表示原圖的最大灰度值。顯然，MSE 值越小，PSNR 值越大，表明重建效果越好（去噪效果越好）。

其中，MSE 的計算公式為：

式中：M×N 為圖像的大小；f 和f^分別為參考圖像和重建圖像（去噪圖像）的像素值。

2.1 SART算法和FBP算法重建結果比較

不同有限角度下SART 算法和FBP 算法的實驗結果如圖1所示。

圖1 不同有限角度下SART 算法和FBP 算法的實驗結果

仿真實驗以Shepp-Logan 為原始模型，圖像大小為 256 × 256，探測元個數設置為 256 個,在[0°，150°]、[0°，160°]以及[0°，170°]范圍內均勻采樣 150、160 和170 個投影數據，在SART 算法中，迭代次數設置為100 次，松弛因子設置為0.9；在相同有限角度范圍內，采用FBP 算法進行重建。從圖1可知，采用SART 重建結果要明顯優(yōu)于FBP 重建結果。

SART 算法和FBP 算法在不同有限角下的客觀評價指標如表1所示。通過表1中數據可知，在有限角度范圍內，SART 算法的均方誤差小，峰值信噪比大，重建圖像質量明顯優(yōu)于FBP 算法。隨著投影數據的增多，2 種算法的均方誤差變小，峰值信噪比增大。

表1 SART 算法和FBP 算法在不同有限角下的客觀評價指標

2.2 SART-Shearlet算法和FBP-Shearlet算法比較

SART-Shearlet 算法經過SART-Shearlet 步驟實現交替迭代，得到重建圖像。而FBP-Shearlet 算法，將FBP 重建結果通過Shearlet 正變換得到Shearlet 系數，舍棄小于設定閾值的Shearlet 變換系數，隨后經過Shearlet 反變換得到更新后的圖像結果，直接輸出更新后的圖像。為了獲得更好的實驗結果，將分解尺度設置為2，不同有限角度下SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法的實驗結果如圖2所示。

圖2 不同有限角度下SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法的實驗結果

直觀上看，Shearlet 變換對SART 算法和FBP 算法的重建結果均有較好的去噪效果。SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法在不同有限角下的客觀評價指標如表2所示。

表2 SART-Shearlet 算法和FBP-Shearlet 算法在不同有限角下的客觀評價指標

從圖2的圖像和表2的數據可知，在相同有限角度范圍內，SART-Shearlet 算法的 MSE 小于 FBPShearlet 算法的 MSE 值，PSNR 值均大于 FBP-Shearlet算法的 PSNR 值。在[0°，150°]和[0°，160°]范圍內，由于[0°，150°] 范圍視角較少的原因，FBP-Shearlet 算法的去噪效果最差。而在[0°，170°]范圍內，SART-Shearlet算法的MSE 值最小，PSNR 值最大。可見，相對于FBP-Shearlet 算法，經過交替迭代的SART-Shearlet 算法在投影數據多的情況下能夠重建出高質量的圖像。表2與表1比較，Shearlet 變換對 SART 算法和 FBP算法的重建結果均具有較好的去噪效果。

3 結 語

本文研究了在采集有限角度投影數據情況下的FBP-Shearlet 算法和SART-Shearlet 算法。為了評價有限角情況下這2 種算法的有效性，在相同有限角度范圍內分別對 FBP 算法、SART 算法、FBP-Shearlet 算法和SART-Shearlet 4 種算法進行了對比實驗。實驗結果表明：在相同有限角度范圍內，基于Shearlet 變換的FBP-Shearlet 算法和SART-Shearlet 算法要優(yōu)于FBP算法和SART 算法。而FBP-Shearlet 算法和SARTShearlet 算法相比較，SART-Shearlet 算法在有限角度情況下能夠重建出相對更高質量的圖像。