調和數相關恒等式的計算機輔助證明

溫新奇，靳海濤

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

組合恒等式的證明和發現是組合數學的一個重要研究課題，其傳統證明方法靈活多變，往往涉及代數、組合、分析等數學分支。近些年來，計算機代數方法的興起使得組合恒等式的證明有了革命性突破。需要特別指出的是，研究人員利用Gosper 算法和Zeilberger 算法[1]，可以證明絕大多數的超幾何恒等式。然而，組合數學中存在大量的非超幾何序列，因此其相關恒等式的證明正成為當下研究的熱點。研究表明，處理非超幾何和式的一個基本思路就是將其轉化為超幾何項，例如文獻[2]中采用Newton-Andrews方法將調和數轉化為超幾何項，文獻[3]利用圍道積分將Bernoulli 數轉化為超幾何項。

調和數是一類經典的非超幾何組合序列，在算法分析、數論以及量子物理學等領域中發揮著重要作用。此外，調和數的相關恒等式的研究也引起研究人員的廣泛關注。例如文獻[4]通過一個含有調和數的恒等式證明了著名的Beukers 猜想，文獻[5]研究了含有調和數的Euler 和，并給出了大量無窮和等式。因此，給出證明和發現含有調和數的相關恒等式的系統化方法具有重要的理論和應用價值。目前的方法主要包括計算機代數方法[2]、部分分式分解[6]、Riordan 群[7]和求導算子[8-9]等。本文利用形式留數算子[10]給出了調和數的一個超幾何表示[11]，將調和數的相關求和問題轉化為超幾何求和問題，進而利用經典的Gosper 算法和Zeilberger 算法處理相應和式，最后通過取留數得到原始和式的相應結果。

1 基礎知識

1.1 形式留數算子

定義對其形式留數定義為resz（f（z））：=z-1f（z）=a-1。

性質對給定的有resz（kf（z）+tg（z））=kresz（f（z））+tresz（g（z））。

1.2 調和數Hn的超幾何表示

由于調和數是非超幾何項（即Hn+1/Hn不是關于n的有理函數），因此處理相關和式的核心是給出調和數的超幾何表示。一個經典方法是考慮函數f（x）=利用微積分知識不難證明Hn=f′（0）。文獻[2，9]就利用該超幾何表示證明和發現含有調和數的相關恒等式。

對非負整數n，記

本文利用該函數給出了調和數的另一個超幾何表示。

性質H（n，x）是關于 n 的超幾何項，并有

證明

1.3 Gosper算法和Zeilberger算法

Gosper 算法和Zeilberger 算法是處理超幾何項和式的2 個經典算法，其具體計算步驟和歷史發展可見文獻[1]。

（1）Gosper 算法完全解決了超幾何項的不定和問題。考慮不定和式其中，tk為一個超幾何項。Gosper 算法將尋找一個超幾何項zk，使得tk=Δkzk=zk+1- zk。若算法成功，則給出zk，進一步對k 求和可得Sn=zn+1-z0；若算法失敗，則表明tk不存在超幾何不定和。

（2）Zeilberger 算法用來處理雙超幾何項的定和問題?？紤]和式其中，F（n，k）為關于n，k 的超幾何項。Zeilberger 算法將尋找與k 無關的一些多項a0（n），a1（n），…，aJ（n）式和一個有理函數R（n，k），滿足如下斜遞推關系：

一般地，記 G（n，k）=R（n，k）F（n，k）。進一步，式（2）兩邊對k 求和可得到和式f（n）滿足的一個遞推關系式。為證明恒等式f（n）=T（n），只需驗證T（n）滿足該遞推關系，且與f（n）具有相同的初值即可。

2 調和數相關恒等式的證明

給定一個含有調和數的相關和式，基本思路如下：

（1）將求和項代換為對應的超幾何項表示，從而變為超幾何和式。

（2）利用Gosper 算法或Zeilberger 算法，得到對應超幾何項的不定和或斜遞推關系式。

（3）對所得的不定和或斜遞推關系式取形式留數并對k 求和，即可得到相關恒等式或和式滿足的遞推關系式。

一般情況下，對定和等式只需驗證恒等式右端也滿足同一遞推關系式，且取相同的初值即可。

2.1 Gosper算法的應用

利用Gosper 算法給出幾個已知恒等式的新證明。

例1證明經典著作[12]中的如下反演公式：

證明記求和項為tk，并記x）。由 Gosper 算法可得：

利用式（1）并注意到：

對式（3）兩邊取留數可得：

進一步，對k從0到n求和，即得：

例2證明如下恒等式：

Garvan 首先給出了該恒等式的猜想[13]，Paule 和Schneider 在文獻[2]中利用Sigma 軟件包證明了該猜想，Chu 和Donno 在文獻[8]利用超幾何級數重新證明了該等式。

證明記求和項為tk，記x），由 Gosper 算法可得：

化簡可得：

例3計算和式

解記求和項為 tk，記 Tk=kH（k，x），由 Gosper 算法可得：

利用式（1）并注意到：

對式（4）兩邊取留數可得：

將上式兩邊對k 求和得：

例4計算和式

解記求和項為 tk，并記 Tk=k2H（k，x），由Gosper算法可得：

利用式（1）并注意到：

對式（5）兩邊取留數可得：

上式兩邊對k 求和可得：

同理，上式可整理為：

2.2 Zeilberger算法的應用

利用Zeilberger 算法給出幾個已知恒等式的新證明。

例5證明如下恒等式：

Prodinger[6]利用部分分式分解給出了該恒等式。之后，Osburn 等[15]利用計算機代數包Sigma 重新證明了上式。

證明記左端和式為f（n），并記F（n，k）=（-1）k·，由 Zeilberger 算法可得：

利用式（1）并注意到：

對式（7）取留數并對k 求和可得：

于是，可得f（n）滿足遞推關系：

可以驗證式（6）右端也滿足上述關系且與f（n）有相同初值，故恒等式成立。

例6證明如下恒等式：

Paule 等[2]利用計算機代數包Sigma 發現并證明了該恒等式，文獻[11]利用Abel-Zeilberger 算法也給出了證明。

證明要證上式成立，即證：

注意到在式（9）中：

根據式（1），對式（9）取留數并對 k 求和可得：

注意到其中：

即可得f（n）滿足遞推關系式為：

可以驗證式（8）右端也滿足上述關系且與f（n）有相同初值，故恒等式成立。

例7證明如下恒等式：

文獻[2]首先證明了該恒等式，文獻[9]重新給出了證明。

證明當n=0 時，上式左右兩邊均等于1，該恒等式成立。

下面考慮n ＞0 的情形。

式中：

注意到：

根據式（1），對式（11）取留數并對 k 求和得：

注意到：

故可得f（n）滿足如下遞推關系：

式中：n ＞0，利用f（1）=0 即可證明該恒等式當n ＞0時成立。

注：文獻[2]中還考慮了如下和式：

采用本文方法，均可給出相應和式的遞推關系式，在此不再贅述。

本文方法也適用于含有一般廣義調和數的相應和式。僅以文獻[6]中的如下恒等式為例進行說明。

其次，記左端和式為f（n），并記F（n，k）=（-1）n-k·，則由Zeilberger 算法可得：

式中：記

同理，利用式（13），對式（14）取留數并對 k 求和，注意到右端為：

故可得f（n）滿足遞推關系式：

可以驗證式（12）右端也滿足上述關系且與f（n）有相同初值，故恒等式成立。

3 結 語

本文利用形式留數給出了調和數的一個超幾何表示并由此利用經典的機器證明——Gosper 算法和Zeilberger 算法來處理含有調和數的相應和式。通過給出一些經典恒等式的新證明，發現本文方法靈活有效。此外，該方法還可用于證明含有廣義調和數的相應恒等式。在后續的研究中，一方面，將進一步擴展該方法并將其用于發現新的恒等式；另一方面，還將研究該方法在證明含有調和數的超同余式中的應用。