基于分數低階統計量的頻譜分析方法

李 輝

（天津職業技術師范大學機械工程學院，天津 300222）

在通信、醫學及工程等領域的信號處理中，基于高斯分布的噪聲模型具有廣泛的理論基礎，并得到了廣泛的應用，但在許多實際應用中，由于受自然因素（如雷電、大氣噪聲等）和人為因素（如發動機、齒輪箱、電動機等故障）的影響，噪聲表現出很強的脈沖沖擊特性——非高斯特性，高斯分布不能很好地刻畫此類噪聲的特性，因而基于高斯分布模型假設的信號處理方法不能有效處理非高斯脈沖沖擊信號，導致處理性能衰退，甚至完全失效。為了有效處理非高斯脈沖沖擊信號，許多學者開展了廣泛的研究，提出了混合高斯分布、柯西分布、t 分布和alpha 穩定分布等方法，以有效刻畫非高斯脈沖沖擊信號，其中，alpha 穩定分布不但滿足廣義中心極限定理，具有穩定性，而且與工程領域的許多實際數據相吻合，因而得到了廣泛的應用。在數學領域，alpha 穩定分布的概念是Levy 于1925年在研究廣義中心極限定理時提出的，20世紀80年代，alpha 穩定分布理論在數學領域得到了廣泛的重視和發展[1]。但是，直到20世紀90年代，美國學者Nikias 及其研究團隊才將alpha 穩定分布理論推廣到信號處理領域，并系統建立了基于分數低階統計量的信號處理框架，推動了該理論的發展和應用[2-7]。針對alpha 穩定分布噪聲模型，國內外學者提出了許多理論和方法，其中，分數低階統計量方法在通信信號處理[8-11]、工程信號處理[12-15]等領域得到了廣泛的關注和應用。本文針對alpha 穩定分布噪聲模型，提出了基于分數低階統計量的頻譜分析方法，對幾種分數低階統計量的頻譜分析結果進行了對比，并用仿真信號驗證了所提方法的正確性和有效性。

1 alpha穩定分布

1.1 alpha穩定分布定義

alpha 穩定分布常用來刻畫具有脈沖沖擊特性的信號和噪聲的概率分布模型，但alpha 穩定分布沒有顯式的概率密度公式，只能用特征函數對其進行描述[3]。

如果隨機變量x 的特征函數滿足式（1），則稱隨機變量 x 服從 alpha 穩定分布，記為 x～s（α，β，γ，μ），且alpha 穩定分布由 α、β、γ 和μ等4個參數唯一確定。

式中：

式（1）中，α、β、γ 和 μ 的含義為：

（1）α 是特征指數（characteristic exponent），滿足0＜α≤2。α 是描述alpha 穩定分布脈沖特性強弱的參數，α 越小，alpha 穩定分布的脈沖特性越強，概率密度函數 PDF 圖的拖尾厚度越厚；反之，α 越大，alpha 穩定分布的脈沖特性越弱，概率密度函數圖的拖尾厚度越薄，當α 參數不同時alpha 穩定分布的概率密度函數PDF 如圖1所示。

（2）β 是偏度參數（skewness parameter），滿足-1≤β≤1，是描述 alpha 穩定分布偏度的參數，當 β＜0 時，alpha 穩定分布的概率密度函數曲線向右傾斜；當β ＞0 時，alpha 穩定分布的概率密度函數曲線向左傾斜；當β=0 時，alpha 穩定分布的概率密度函數曲線對稱，成為對稱的alpha 穩定分布（symmetric alpha stable distribution，SαS），β 參數不同時 alpha 穩定分布的概率密度函數如圖2所示。

圖1 α 參數不同時alpha 穩定分布的概率密度函數

圖2 β 參數不同時alpha 穩定分布的概率密度函數

（3）γ 是分散參數（dispersion parameter），滿足γ≥0，其含義與高斯分布中的方差σ 相似，描述脈沖的離散程度，γ 參數不同時alpha 穩定分布的概率密度函數如圖3所示。

圖3 γ 參數不同時alpha 穩定分布的概率密度函數

（4）μ 是位置參數（location parameter），滿足-∞＜μ＜∞，對于對稱的 alpha 穩定分布，當 0＜α＜1時，μ 為中值；當 1＜α≤2 時，μ 為平均值，μ 參數不同時alpha 穩定分布的概率密度函數如圖4所示。

alpha 穩定分布的特征函數φ（t）與其概率密度函數PDF 是傅里葉變換對，因此可以通過計算特征函數φ（t）的傅里葉變換，得到alpha 穩定分布的概率密度函數PDF。

圖4 μ 參數不同時alpha 穩定分布的概率密度函數

1.2 alpha穩定分布的主要性質

特征函數φ（t）是分析alpha 穩定分布的主要工具，利用式（1）可以推導出alpha 穩定分布的主要性質，并可得到對α、β、γ 和μ 4 個參數的解釋。

性質1若x1和x2為獨立的隨機變量，且滿足xi～s（αi，βi，γi，μi），i=1，2，則x=x1+x2滿足x～s（α，β，γ，μ），且

性質2若 x～s（α，β，γ，μ），c 為實常數，則 x +c～ s（α，β，γ，μ +c）。

性質3若 x～s（α，β，γ，μ），當 0＜α＜2 時，對任意實常數 0＜p＜α，存在 E[|x|p]＜∞；對任意實常數 p≥α，存在E[|x|p]=∞。

性質4若 x～s（α，β，γ，μ），當 α=2 時，對任意實常數 p≥0，存在 E[|x|p]＜∞。

性質5當且僅當偏度參數 β=0 時，x～s（α，β，γ，μ）是關于 μ 對稱的。

由性質3 和性質4 可知：

（1）當0＜α≤1時，alpha 穩定分布只存在分數低階矩（p＜α），不存在一階矩、二階矩和高階矩。

（2）當1＜α＜2時，alpha 穩定分布存在分數低階矩（p＜α）和一階矩，不存在二階矩和高階矩。

（3）當α=2時，alpha 穩定分布存在分數低階矩（p＜α）、一階矩、二階矩和高階矩。

2 分數低階統計量

根據alpha 穩定分布的性質，對于服從alpha 穩定分布的隨機變量 x，當 0＜α＜2 時，隨機變量 x 的二階及二階以上的高階統計量都是不存在的，因此基于二階統計量的傳統信號處理方法（如功率譜），在處理服從alpha 穩定分布的信號時，將導致性能衰退，甚至失效，而基于分數低階統計量的信號處理方法是分析alpha 穩定分布信號的有效工具之一。分數低階統計量主要包括分數低階矩、共變、分數低階相關、分數低階協方差、相位分數低階矩和相位分數低階協方差。

2.1 分數低階矩

若隨機變量x～SαS，且滿足 0＜α≤2，則其分數低階矩（fractional lower order moment，FLOM）E[|x|p]定義為：

式中：Γ（·）為伽馬函數，即：

2.2 共變

若隨機變量x 和y 服從聯合對稱SαS 分布，且滿足 1＜α≤2，則隨機變量x 和 y 的共變為：

式中：γy為隨機變量y 的分散參數，若y 為實數，則y＜p＞=|y|psign（y），若 y 為復數，則 y＜p＞=|y|p-1y*，（·）*為共軛運算符。

2.3 分數低階相關

若隨機變量x 和y 服從聯合對稱SαS 分布，且滿足1＜α≤2，則隨機變量 x 和 y 的分數低階相關（fractional lower order correlation，FLOC）為：

從式（8）可知：當p=2 時，分數低階相關變為傳統的自相關函數。

2.4 分數低階協方差

若隨機變量x 和y 服從聯合對稱SαS 分布，且滿足0＜α≤2，則隨機變量x 和y 的分數低階協方差（fractional lower order covariance，FLOC）為：

2.5 相位分數低階矩

若隨機變量 x～SαS，且滿足 0＜α≤2，則隨機變量x的相位分數低階矩（phased fractional lower order moment，PFLOM）為：

2.6 相位分數低階協方差

若隨機變量x 和y 服從聯合對稱SαS 分布，且滿足0＜α≤2，則隨機變量x 和y 的相位分數低階協方差（phased fractional lower order covariance，PFLOC）為：

3 基于分數低階統計量的頻譜分析方法

根據傳統的信號分析理論，若信號x 服從高斯分布規律，則其自相關函數Rx（τ）及功率譜Sx（f）為傅里葉變換對，即：

圖5 余弦信號與alpha 穩定分布噪聲的合成信號及其頻譜

當信號x 不服從高斯分布規律，如服從alpha穩定分布時，由于信號x 的二階統計量不存在，因而不能用傳統的功率譜對其進行頻譜分析。從前面分析可知：分數低階統計量是處理alpha 穩定分布信號和噪聲的有力工具，因此基于分數低階統計量的頻譜分析步驟為：

（1）計算信號x（t）的分數低階統計量。

（2）計算信號x（t）分數低階統計量的傅里葉變換。

為了驗證該方法的正確性和有效性，假設信號x（t）為：

式中：A 為余弦信號的幅值；θ0為初始相位；n（t）為alpha穩定分布噪聲。取A=1，θ0=0，f=50 Hz，采樣頻率fs=1 000 Hz，采樣時間 1 s。

余弦信號與alpha 穩定分布噪聲的合成信號及其頻譜如圖5所示。

合成信號的廣義信噪比為GSNR=-5，從圖5（c）很難看出合成信號中的周期性信號成分。從圖5（d）中也難以識別頻率為50 Hz 的周期成分。合成信號的自相關函數及其頻譜如圖6所示。由于alpha 穩定分布噪聲的二階統計量不存在，從圖6（a）中看不出周期性的變化波形，而從圖6（b）中也難以有效識別頻率為50 Hz 的周期成分。因此，驗證了基于二階統計量的信號分析方法，在處理alpha 穩定分布信號時造成性能衰退或失效，因而傳統的信號處理方法難以有效提取alpha 穩定分布噪聲中的周期信號成分。

圖6 合成信號的自相關函數及其頻譜

為有效識別合成信號中的頻譜成分，按本文提出的方法，先計算合成信號x（t）的分數低階統計量，合成信號x（t）的共變、分數低階相關、分數低階協方差、相位分數低階協方差，合成信號的分數低階統計量如圖7所示。

對比圖6和圖7可以看出，由于合成信號不存在二階統計量，因此傳統的自相關分析難以提取合成信號中的周期成分，而分數低階統計量能從alpha 穩定分布噪聲下，提取合成信號中的周期成分。同時，從圖7還可以看出，分數低階協方差和相位分數低階協方差比共變或分數低階相關的降噪性能更好，圖7（c）和圖7（d）比圖7（a）和圖7（b）中的周期性信號成分更明顯。

合成信號的分數低階統計量的傅里葉變換如圖8所示。從圖8可以看出，在頻率50 Hz 處存在明顯的峰值，因此基于分數低階統計量的頻譜分析方法能從alpha 穩定分布噪聲下，有效提取頻率為50 Hz 的成分。對比圖8（c）、圖8（d）和圖8（a）、圖8（b）可以看出，基于分數低階協方差和相位分數低階協方差的傅里葉變換比基于共變和分數低階相關的傅里葉變換的降噪性能更好，因而基于分數低階協方差和相位分數低階協方差的頻譜分析方法能更好地從alpha 穩定分布噪聲下提取噪聲信號中的頻率成分。

圖7 合成信號的分數低階統計量

圖8 合成信號的分數低階統計量的傅里葉變換

4 結 語

由于alpha 穩定分布信號的二階統計量不存在，因而基于二階統計量的傳統頻譜分析方法，難以有效處理alpha 穩定分布信號，而基于分數低階統計量的信號分析方法是處理alpha 穩定分布信號的有力工具，基于分數低階統計量的信號分析方法，能有效識別alpha 穩定分布噪聲下的周期性頻率成分。本文通過理論分析和仿真信號，驗證了基于分數低階協方差和相位分數低階協方差的頻譜分析方法具有更好的alpha 穩定分布噪聲抑制能力，能更好地從alpha 穩定分布噪聲下提取噪聲信號中的頻率成分，成為分析alpha 穩定分布信號的有力工具。