讓數(shù)概念教學推動三個表征過程

姚蘭

[摘 要]在小學數(shù)學中，數(shù)概念是一個非常重要且非常復(fù)雜的概念，也是學生學習的基礎(chǔ)。在教學實踐中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學生推動三個表征過程，從具象向抽象逐漸演化，通過對數(shù)的表征轉(zhuǎn)化，幫助學生建構(gòu)數(shù)概念。

[關(guān)鍵詞]數(shù)概念;數(shù)學思維;表征;內(nèi)外表征轉(zhuǎn)換

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0048-02

在小學階段，數(shù)概念是一個非常重要且非常復(fù)雜的概念，它不僅是學生認識世界的基本元素，也是認識和理解數(shù)學的開端。學生對數(shù)概念的學習將會貫穿數(shù)學學習的整個過程，具有十分重要的奠基作用。對數(shù)概念教學來說，要讓學生理解數(shù)概念，需經(jīng)歷對數(shù)概念的表征過程，其中包括概念的外在表征、內(nèi)在表征以及內(nèi)外表征的轉(zhuǎn)換。所謂表征，就是用某種形式將事物或某種想法表現(xiàn)出來，以實現(xiàn)交流的目的。當學生掌握表征的意義之后，就能夠進一步提升思維，建構(gòu)數(shù)概念。對數(shù)的表征是學生向更高一級數(shù)學能力發(fā)展的基礎(chǔ)，也是學生理解數(shù)概念的根本所在。因此，在教學中，教師要引導(dǎo)學生經(jīng)歷數(shù)的表征過程，實現(xiàn)從直觀到抽象的突破，有效建構(gòu)數(shù)概念。現(xiàn)筆者根據(jù)自己的教學實踐，從以下三個方面談?wù)勼w會。

一、以模型對應(yīng)推動表征過程，感悟數(shù)的意義

對于小學生來說，概念形成的核心是理解，而理解就是對概念基于某種內(nèi)在表征進行有效的交流。因此，在小學階段的數(shù)概念教學中，教師可以借助學生的已有經(jīng)驗，以模型取代實物，并保留原物的操作性，使抽象的數(shù)和模型一一對應(yīng)，建立數(shù)量聯(lián)系，再借用計算器、數(shù)軸、方格圖等形式化表征，讓學生通過觀察操作，經(jīng)歷直觀可視的外在表征過程，掌握抽象的數(shù)概念內(nèi)容，理解和感悟數(shù)的意義。

比如，在教學“11～20的數(shù)的認識”這一內(nèi)容時，筆者設(shè)計了以模型為表征形式的教學過程，為學生建立計數(shù)單位為十的數(shù)概念提供直觀支持。筆者先讓學生想一想，怎么做能夠讓人一眼就能看出有幾個草莓（如圖1所示）。學生提出可以將每五個圈一圈，也可以每十個圈一圈。具體怎么操作呢？筆者給學生準備了一些小棒，還有兩個盒子，并讓學生做好記錄。學生將十根小棒捆成一捆，放在左邊的盒子里，然后畫1顆珠子代表1捆（即10根小棒）;剩下三根小棒放在右邊的盒子里，然后畫3顆珠子（代表3根小棒）。通過操作活動，學生在頭腦中形成直觀印象，將放一捆小棒的盒子當作十位盒子，放一捆就可以記作1，代表10;將放單根小棒的盒子當作個位盒子，放1根就記作1，放5根就記作5，為接下來建構(gòu)數(shù)概念奠定了基礎(chǔ)。

顯然，要讓學生認識11～20各數(shù)，首要的任務(wù)就是讓學生理解計數(shù)單位十和數(shù)位概念，這既是難點，又是要點所在。筆者通過引導(dǎo)，先讓學生建立10個一堆、10個一捆的概念，然后再通過畫珠子的方式將圖和數(shù)結(jié)合起來，讓學生通過直觀的表征過程，以可視的方式，將一捆小棒過渡到計數(shù)器上的十位上的一顆珠子，讓學生從單個的一個個數(shù)擴展到以十為單位的一群群數(shù)，體會到一個算珠在不同位置上的不同意義，完成了從“以一當一”到“以一當十”的抽象過渡。

以上環(huán)節(jié)，教師為了讓學生領(lǐng)悟數(shù)的意義，以模型對應(yīng)推動進程，帶領(lǐng)學生經(jīng)歷數(shù)的表征過程，先從圈十個草莓表征數(shù)10開始，再將一捆小棒作為表征的材料，讓學生將其抽象為十位數(shù)上的一顆珠子，最后有了十位和個位的數(shù)位建構(gòu)，將放一捆小棒的盒子定位為十位，放單根小棒的盒子定位為個位，有了這兩個“盒子”的直觀表征，學生直觀地認識到可以將1當作1，也可以將1當作10，有效實現(xiàn)了對數(shù)的抽象意義的領(lǐng)悟。

二、以形式轉(zhuǎn)譯推動表征過程，理解數(shù)的本質(zhì)

在小學數(shù)概念教學中，面對同一個數(shù)概念，往往可以采用不同的表征形式轉(zhuǎn)譯，進行補充和完善，從而豐富數(shù)概念的內(nèi)涵和外延。因此，教師要引導(dǎo)學生經(jīng)歷多種表征形式的轉(zhuǎn)譯過程，在各種表征形式之間轉(zhuǎn)譯越順暢，學生就越能夠獲得豐富多元的概念理解，從而有效感悟數(shù)概念的本質(zhì)。

比如，在教學“1000以內(nèi)數(shù)的組成”這一內(nèi)容時，筆者給學生提供了一袋小方塊，讓學生數(shù)一數(shù)，并用自己的方式記錄，看看怎么才能讓人一目了然。學生先用數(shù)數(shù)的方式，發(fā)現(xiàn)一個一個表征太煩瑣了，然后又用圈100的方式進行表征，接下來筆者引導(dǎo)學生嘗試用小棒來進行表征。用小棒表征能夠直觀呈現(xiàn)出數(shù)的完整結(jié)構(gòu)。如235，學生先擺出一百根小棒為一捆的大捆，共有2捆;十根小棒為一捆的小捆，共有3捆;還剩下5根小棒。最后筆者引導(dǎo)學生借助計數(shù)器進行數(shù)的表征，這種表征的轉(zhuǎn)譯，讓學生對數(shù)概念有了本質(zhì)的把握和理解。

在以上環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學生通過實踐，經(jīng)歷多種表征形式的轉(zhuǎn)譯過程，讓學生完整建構(gòu)多種表征形式的一一對應(yīng)，理順數(shù)之間的關(guān)系，直觀地認識數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。借助不同形式的數(shù)的表征過程，學生逐漸從直觀過渡到抽象，經(jīng)過推理就能很快認識到200可以用計數(shù)器百位上的兩顆珠子來代替。這說明學生已經(jīng)有效地理解了數(shù)概念的本質(zhì)。

三、以有序循環(huán)推動表征過程，內(nèi)化數(shù)的運用

在小學階段的數(shù)概念教學中，學生對數(shù)的認知具有有序循環(huán)性，大多數(shù)都是先從直觀入手，借助形象來感受，然后再進行抽象，但是經(jīng)過抽象之后，又需要通過直觀的表征來進行解釋和理解。因此在教學時，教師要根據(jù)需要適時調(diào)整，結(jié)合學生的已有經(jīng)驗，引導(dǎo)學生經(jīng)歷表征的有序循環(huán)，帶領(lǐng)學生從感性到抽象，再從抽象到感性，逐步深入，步步進階，使數(shù)概念得到內(nèi)化并走向運用。

比如，在教學“除數(shù)是一位數(shù)除法的口算和筆算”這一內(nèi)容時，對于練習題“三個班的手工課一共用去120張彩色手工紙，平均每班用了多少張？”，為了讓學生理解其中的算理，筆者設(shè)計了實物、圖形表征和模型表征的方式，引導(dǎo)學生進行操作，經(jīng)歷表征方式的有序循環(huán)過程：大家可以分一分小棒，或者用畫圖的方式，看看怎么分、怎么畫才能讓12÷3一目了然。學生借助操作和畫出的圖像，理解了12個一平均分成3份，每份就是4個一，緊接著筆者再讓學生去理解120÷3，學生認識到可以將120看作是12個十，平均分成三份，每份就是4個十（如圖2所示）。

以上環(huán)節(jié)，教師根據(jù)學生的已有經(jīng)驗進行引導(dǎo)，層層遞進，帶領(lǐng)學生經(jīng)歷從直觀到抽象，再從抽象到直觀的表征過程，循環(huán)往復(fù)，有序轉(zhuǎn)換，使學生將數(shù)概念內(nèi)化于心，順利完成了從直觀感受到抽象推理的跨越，從而積累了對數(shù)概念的應(yīng)用經(jīng)驗。

總之，在小學數(shù)概念教學中，教師的教學應(yīng)建立在學生的認識水平和已有經(jīng)驗之上，通過引領(lǐng)學生推動數(shù)的三個表征過程，幫助學生對外部信息進行選擇加工，從而領(lǐng)悟數(shù)的意義，建構(gòu)數(shù)概念的本質(zhì)，內(nèi)化數(shù)的應(yīng)用。

（責編 羅 艷）