探求高中數學的“軌跡問題”

江蘇省常熟外國語學校 徐莉嬌

伴隨時代發展，高中數學教材也隨之進行了不斷變化，但“軌跡問題”始終是高中數學教材中相當重要的一部分內容。“軌跡問題”在高中數學教材中的作用，是讓學生在探究軌跡方程實質的過程中，實現從“形（曲線）”向“數（方程）”的思維轉化過程，這是培養高中生數學思想方法的一條最佳路徑。同時，從歷年高考的“出鏡率”來看，“軌跡問題”均是重點與熱點。特別是倡導素質教育的新時期，“軌跡問題”在培養高中生創新意識，提高運算、思維、分析等數學能力上，都將是一個有利的切入點。然而，也正是由于“軌跡問題”的抽象性，也給學生學習帶來了一定困難。如何在教學與復習中，幫助高中生突破學習瓶頸，探求“軌跡問題”教學的有效方法，是本文的主旨。以下是結合教學實踐對此展開的深入思考與研究。

一、高中生在“軌跡問題”上的學習困難

結合多年從教經驗，在高中數學“軌跡問題”的學習中，學生大多存在以下幾種情況：

1.對“概念本質”把握不準

如：“動圓M和圓C1：（x+1）2+y2=36內切，和圓C2：（x-1）2+y2=4外切，那么圓心M軌跡方程是怎樣的？”這類例題學生在求解過程中，要注意在作圖時應考慮相切時的圖形特征，在得到“|MA|+|MB|=8”的方程之后，可利用軌跡橢圓概念直接寫出軌跡方程。但在實際求解時，由于對概念本質把握不夠，就會有學生采取距離公式進行列式求解，列出“”，然后進行移項、平方，最后求出軌跡方程，導致求解步驟增多，求解時間增加，無形中提高了解題錯誤率，降低了解題效率。

2.對“隱含條件”容易忽視

在數學問題中，總有一些含而不露，若明若暗的已知條件隱藏于題目之中，或者存在一些借助表面條件進行變形、推理之后再產生新條件的隱含條件，如果學生不能夠及時發現與利用這些條件，就會出現錯解、不完整解答，甚至找不到解題有效路徑的情況。如“在平面直角坐標第xOy中，拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩個動點A和B，滿足圖中所示，即OA與OB垂直的條件，求△AOB的重心G的軌跡方程。”這類問題進行求解時，很多學生都會出現兩個答案，即“y=3x2”或者是“y=3x2+”。為什么會出現這樣的錯解？就是因為在解題過程中，學生忽略了△AOB在“x1x2=0”的時候是不可能存在的，所以最終的答案只能是“y=3x2+”。

3.對問題思考得不全面

由于“軌跡問題”的抽象性特征，如果學生對問題研究不透，知識基礎不牢，在發現問題和分析問題的過程中就會產生思維上的死角，因為考慮問題不全面而出現解題偏差和錯誤。如：“已知橢圓（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1（c,0）和 F2（-c,0），橢圓外有一動點Q，且F1Q=2a，該橢圓與線段F1Q相交于P點；線段F2Q上有一點T，且“=0,且|TF2|≠0，求點T的軌跡C的方程。”求解這類軌跡問題時，即使是平常較為優秀的學生也會因為片面化考慮而產生錯誤答案，出現以下錯誤解題過程：“通過焦半徑公式可以得到假設T點坐標是（x,y），那么從=0可以得出：在△QF1F2中，，因此得出其實只要學生認真思考，就會找到正確的解題思路，可以使用代入法先將PF1=a+求出，再假設T點坐標（x,y），最后求出“x2+b2=a2”的軌跡方程。或者采取相關法，先將|PF1|=a+x設T點坐標（x,y）求出，最后求出正確答案。

二、“軌跡問題”的有效教學方法

在高中數學“軌跡問題”學習中學生存在的問題和困難固然有知識本身抽象屬性的原因，也有學生自身學習能力的原因，但筆者認為，要想讓高中生學好高中數學“軌跡問題”，掌握到正確且高效的學習方法，最重要的還需要教育者改變教育觀念，創新教學模式。波利來曾經指出：無論學生學習什么知識，只有一條最佳途徑，那就是自己發現。這種發現會產生最深刻的理解，也能夠讓學習者很快掌握到知識的本質、規律和內在聯系。故為了可以讓高中生更快、更好、更自然地突破在“軌跡問題”學習過程中的瓶頸，就要讓他們參與到知識生成、發展過程來，成為主動構建知識的主體。以下以《圓錐曲線的統一定義》一課為例，對高中數學“軌跡問題”的教學實踐與探究。

步驟1：之前和大家一起學習了拋物線、雙曲線以及橢圓這些定義，大家是不是可以進行簡單敘述？拋物線、雙曲線和橢圓被統稱圓錐曲線，那么大家是不是可以從之前的知識回顧中對圓錐曲線進行一下統一定義？拋物線從P點（動點）到F點（定點）的距離和到定直線l的距離是相等的，即距離比為1。那么如果這個比值變為不再等于1的一個常數時，P點的軌跡曲線是怎樣的？

【設計理念】讓學生回顧知識的目的在于鞏固知識的同時讓學生注意到這些定義之間存在的差別，并從中對“圓錐曲線是不是可以形成統一定義”這個問題進行聯想、思考和嘗試。

步驟2：自主探究并猜想：“平面內到定點F（-3，0）與到一條定直線=3之間距離比為2或者是，動點P會產生怎么樣的軌跡？”

【設計理念】以問題探究引導學生參與，通過對軌跡圖形的猜想幫助學生進行數學建模。

師：怎樣證明得到的這個圓形是橢圓？

學生在教師的提示下發現了“不關于原點對稱”的圖形特征。

步驟3：猜想：“平面直角坐標系里，是不是存在一定直線與定點，能夠讓橢圓=1（a＞b＞0）上任意一點P（x,y）到定直線與定點距離比為一個定值？”

學生思考后想到該定點是焦點。老師繼續問題引導：“如果產生兩個焦點，其中一個定點為F2,那么怎么表示|PF2|,它的最大值與最小值分別是什么？”有的學生列出下式：所以可以得出|PF2|只和點P橫坐標x有關。

【設計理念】從曲線概念復習入手，讓學生主動參與到知識建構中來，嘗試著對“統一定義”的正確答案進行猜想與論證。通過“問題串”將學生的思維引向探究的深度，得到定值、定直線這樣的探究結果，并對自己的猜想進行了合理解釋，最后比較客觀地將橢圓第二定義得出，再與雙曲線定義進行類比，輔以練習題加深知識理解和知識應用。

整個教學過程中所涉及的問題，都是之前學生比較熟悉的“動點到定點距離最值”的問題，學生很快就找到了處理這類問題一些有效的方法，如化簡、消元等，并且相對自然和順利地就通過自主探究得到雙曲線和準線，掌握了如何通過“化斜為直”數學思想方法來解決曲線上某一點與焦點距離的問題。在親歷知識形成的整個過程中，學生體驗到了如何將代數運算運用于解析幾何中并對幾何性質加以證明的“精髓”所在，為之后如何處理定值與定點問題提供了鮮活直觀的范例，也為后續學習夯實了基礎，創造了條件。從教學過程中看，學生都表現出了較高的參與度，探究過程也相對順暢自然，不但給學生提供了運用之前所學內容解決新問題的機會，也讓他們“如何更好地解決問題”的思想和欲望更加強烈，自主學習的熱情和效果顯而易見，“軌跡問題”也不再是“問題”。

如何上好新時期的一節數學課，需要的是教育者不斷的自我反思和自我調整，要與教學規律更加契合。思考在教學任務應采取怎樣的方式呈現。學生參與知識建構的熱情如何激發？等問題，比單純思考學生到底掌握了多少基礎知識更加重要。要讓每個學生均有所獲，讓“軌跡問題”成為學習快樂的源泉，讓數學課堂充滿著活力、魅力、生命力。