凸多邊形內的“費爾馬點”問題

北京市海淀區水木龍華培訓學校 張靖華

對于三角形內的費爾馬點問題的討論已屢見不鮮，本文將給出凸多邊形內的一點到相鄰三頂點距離之和的最小值的計算公式。

定理1：在凸多邊形A1A2…An中， 若 (∠ AiAi+1Ai+2， ∠ Ai+1Ai+2Ai，∠Ai+2AiAi+1)max＜120°，則△AiAi+1Ai+2內有且只有一點，使得PAi+PAi+1+PAi+2之和最小，且最小值為：

證明：在凸多邊形A1A2…An中，相鄰三頂點Ai，Ai+1，Ai+2構成的△AiAi+1Ai+2中，滿足(∠AiAi+1Ai+2，∠Ai+1Ai+2Ai，∠Ai+2AiAi+1)max＜120°，由費爾馬命題知：

在△AiAi+1Ai+2中存在一點，使得PAi+PAi+1+PAi+2之和最小，因為△AiAi+1Ai+2凸多邊形A1A2…An，故該點的存在性獲證。

設點 是凸多邊形 A1A2…An內一點，連接 PAi，PAi+1，PAi+2，把△PAiAi+1繞頂點Ai+1逆時針旋轉60°，則△P'Ai'Ai+1≌△PAiAi+1，連接，則△PP'Ai+1為等邊三角形。故 P'Ai＝ PAi，Ai'Ai+1＝ AiAi+1，PAi+1＝PP'

由此可得：（PAi+PAi+1+PAi+2）min=（P'Ai'+PP'+PAi+2）min=（Ai'Ai+2）

此時P點在線段Ai'Ai+2上，易知異于P點的任何點不產生最小值。

推論：當AiAi+1=Ai+1Ai+2時，

定理2：順次連接正四、五邊形內的費爾馬點得到的正四、五邊形分別與原正四、五邊形相似，且相似比分別為

由（2）式知：點P1是 的平分線AP1與 的交點，由對稱性類似地可得P2P3P4，易知四邊形P1P2P3P4為正方形且與四邊形 相似。

在△AP1B中由正弦定理知：

定義2：把順次連接正多邊形內的費爾馬點形成的正多邊形稱之為“費爾馬正多邊形”。

證明：用Si表示第i個費爾馬正方形的面積，由定理2知這些所有的費爾馬正方形的面積構成一個公比為的無窮遞縮等比數列。