導數在高中數學解題中的有效應用

廣西北海市合浦縣廉州中學 錢曉萍

一、導數

高中數學中，教師在開展關于導數解題內容教學的過程中，需要始終遵循幾大原則：①將學生作為教學活動開展的主體。②為同學們所展示的題目應該具有良好的代表性或者典型性。③課堂時間有限，因此向學生講解題目的個數應該適量，追求講題質量，保證符合學生的接受能力。④導數內容的教學過程不能一蹴而就，應該經歷循序漸進的誘導過程。⑤合理選用教學模式，以多樣化形式激發學生的學習熱情。⑥課內外相互滲透。

二、導數在高中數學解題中的實際應用

1.函數最值

高中數學中的函數最值問題，一直是學生學習的重點和難點，在將導數知識融入高中階段數學教材之前，對函數最值求解的方法多種多樣。而在將導數引入教材之后，對最值求解的題目，不但為學生提供了一種解題思路和方法，也為很多題目的解題提供了更大的便利。二次函數屬于函數最值當中比較經典的題型，在絕大多數高考題目當中，二次函數所對應的區間最值，指的是二次函數所處特定區間中的最小值或者最大值，該類題目當中通常會含有參數，屬于高考當中的重點與難點。倘若利用數形結合的方式對該類題目進行解答，其過程會十分復雜，而應用導數則會顯得十分簡便、清晰。導數最為主要的作用是對函數在區間當中單調性以及極值點的判斷，題目解析的關鍵在于考察學生二次函數極值點跟區間之間的相對位置。

例1：在已知a∈R的情況下，分析函數f（x）=ex（x2+ax+a+1）極值的具體個數。

解：f'（x）= ex（x2+ax+a+1）+ ex（2x+a）= ex[x2+（a+2）x+（2a+1）]，

若使f'（x）=0，則可得x2+（a+2）x+（2a+1）=0。

（1）在Δ=（a+2）2-4（2a+1）=a2-4a=a（a-4）＞0，也就是a＜0或者a＞4的情況下，方程x2+（a+2）x+（2a+1）=0。

有兩個不同實根x1與x2，我們假設x1＜x2，

依據f'（x）=ex（x-x1）（x-x2），獲得下表：

x (-∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，+∞)f '(x) + 0 - 0 +f (x) ↗ f (x1)是極大值 ↘ f (x2)是極小值 ↗

所以，在這種情況下，f（x）具有兩個極值點。

（2）在Δ=0，也就是a=0或者a=4的時候，方程x2+（a+2）x+（2a+1）=0 有兩個相同實根 x1=x2，所以 f'（x）= ex（x-x1）2。

所以在x＜x1的情況下，f'（x）＞0；在x＞x2的情況下，fˊ（x）＞0，所以f（x）沒有極值。

（3）在Δ＜0，也就是0＜a＜4的時候，x2+（a+2）x+（2a+1）＞0，

f'（x）= ex[x2+（a+2）x+（2a+1）] ＞ 0，所以f（x）是增函數，這個時候f（x）沒有極值。

2.函數單調性

在將導數引入高中數學教材之前，對函數單調性的判斷所應用最常規的辦法為定義法，不過定義法通常被用在對一些簡易函數單調性的判斷，如果有復雜程度稍高的函數，應用定義法進行判斷便顯得十分繁瑣。相比之下，利用導數進行函數單調性判斷更為簡便。應用導數對函數單調性判斷的主要原理是，對于一個函數f（x），倘若其導數f'（x）在區間[a，b]上大于0，那么函數f（x）在區間[a，b]中則單調遞增，反之則單調遞減。

例2：已知有函數f（x）=x2eax（a≤0），分析f（x）的單調性。

解：f'（x）=x（ax+2）ex。

在a＞0時，使f'（x）=0，則得到x=0，

如果x＞0，則f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）當中便是單調遞增；

如果x＜0，則f'（x）＜0，f（x）在（-∞，0）當中便是單調遞減。

在對此類型題目進行解答的過程中需要關注兩個方面：①要對常見函數導數的求法形成良好掌握，特別是對復合函數相應函數的求法要形成足夠的重視。②在對函數單調性質進行說明的過程中，必須要說明在哪個區間當中所呈現何種單調性。

總而言之，導數與其他數學知識點之間的相互融合，已經成為目前高考考察的重點內容，必須對其形成足夠的重視。作為一名高中數學教師，應該在日常工作中積極探索，對國內外其他優秀教育工作者的優秀教育經驗與理念加以借鑒，繼而與自身的實際教學情況相結合，創建出一套更為優質的教學體系，為國家教育事業的發展貢獻出自己的力量，為國家培養出一批又一批現代化人才。