數形結合思想方法在高中數學中的重要性

寧波濱海學校 章丹賽

數形結合思想是充沛利用“形”把一定的數量關系形象地表示出來，協助同學正確理解數量關系，使問題簡明直觀。數形結合的思想貫穿高中數學教學的始終。采用數形結合思想解決問題的關鍵是找準數與形的契合點。如果能將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產生事半功倍的效果。數形結合的思想方法不像一般數學知識那樣，通過幾節課的教學就可掌握。它根據學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷豐富自身的內涵。下面舉例說明數形結合思想在高中各知識模塊中的應用。

一、數形結合在解決集合問題中的應用

圖示法是集合的重要表示法之一，對一些比較抽象的集合問題，在解題時若借助韋恩圖或用數軸、圖像等數形結合的思想方法，往往可以使問題直觀化、形象化，從而靈活、直觀、簡捷、準確地獲解。

例1 已知全集U={不大于20的質數}，M，N是U的兩個子集，且滿足M∩（CUN）={3，5}，（CUM）∩N={7，19}，（CUM）∩（CUN）={2，17}，求 M，N。

提示：由韋恩圖可以很容易知道答案為M={3,5,1,13}，N={7,1,13,19}。

二、數形結合在方程與函數中的應用

函數的圖像是函數關系的一種表示，它是從“形”的方面來刻畫函數的變化規律。函數圖像形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑。獲得答案的重要工具。函數的圖像和解析式是函數關系的主要表現形式，實質是相同的，在解題時經常要相互轉化，在解決函數問題，尤其是較為煩瑣的（如分類討論、求參數的范圍等）問題時要充分發揮圖像的直觀作用，如：求解函數的值域時，可給一些代數式賦予一定的幾何意義，如直線的斜率，線段的長度（兩點間的距離）等，把代數中的最值問題轉化為幾何問題，實現數形轉換。

方程 f（x）=g（x）的解的個數可以轉換為函數 y= f（x）和 y=g（x）的圖像的交點個數問題。

不等式f（x）＞g（x）的解集可以轉化為函數y=f（x）的圖像位于函數y=g（x）的圖像上方的那部分點的橫坐標的集合。

分析：本題主要考查函數的基本知識，利用函數的單調性解不等式以及借助數形結合思想解決問題的能力。

例3 方程lgx=sinx解的個數為（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：畫出函數y=lgx與y=sinx的圖像（如圖），注意兩個圖像的相對位置關系。

答案：C。

三、利用數形結合解決數列問題

數列可看成以n為自變量的函數，等差數列可看成自然數n的“一次函數”，前n項和可看成自然數n的缺常數項的“二次函數”，等比數列可看成自然數n的“指數函數”，在解決數列問題時可借助相應的函數圖像來解決。

四、不等式與解析幾何中的數形結合

在解析幾何中，借助直線、圓及圓錐曲線在直角坐標系中圖像的特點，可從圖形上尋求解題思路，啟發思維，難題巧解。

五、求極值問題中的數形結合

許多代數極值問題，存在著圖形背景，借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過圖形給問題以幾何直觀描述，從數形結合中找出問題的邏輯關系，啟發思維，難題巧解。

六、數形結合在復數中的應用

復數的幾何意義包括兩方面內容：一是與復平面上的點一一對應，二是與復平面上從原點出發的向量一一對應，這使得復數可以從解析幾何的角度來審視，可借助數與形的互化來解題。

應用數形結合解題時要注意以下兩點：其一，注意數與形轉化的等價性，將復雜的問題轉化成簡單、熟知的數學問題，轉化前后的問題應是等價的。違背了這個原則的數形結合，將會引起錯誤。其二，注意利用“數”的精確性和“形”的全面性，像判斷公共點個數問題，轉化成圖形后要保證“數”的精確性，才能得出正確結論。有些問題所對應的圖形不唯一，要根據不同的情況畫出相應的圖形后，再進行討論求解。

總之，學生要真正掌握數形結合思想的精髓，必須有雄厚的基礎知識和熟練的基本技巧，如果只理解了幾個典型習題，就認為領會了數形結合這一思想方法，是錯誤的。所以要認真上好每一堂課，深入學習新教材的系統知識，掌握各種函數的圖像特點，理解各種幾何圖形的性質。教師要引導學生根據問題的具體情況，注意改變觀察和理解問題的角度，揭示問題的本質聯系，用“數”的準確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數”的計算，從而使問題得到解決。在平日的教學中，要緊緊抓住數形轉化的策略，溝通知識聯系，激發學生學習興趣，提高學生的思維能力。只有這樣，運用數形結合才能不斷深化提高。