淺談初中幾何中的60°

廣東省中山市第一中學 張曉會

幾何題要求學生具有較強的綜合運用能力、邏輯推理能力和計算能力，因此不少中學生對此是“心有余而力不足”。對于幾何題切入點的選取，則直接關系到解題能否順利進行下去。對于幾何題中的“60°”這一條件相信大家都不陌生，本文將就這一條件的應用做出一點小小的歸納，下面進行舉例說明。

一、利用60°解直角三角形

例1 如圖1，圓內接四邊形ABCD中∠A=60°，∠B=90°，AD=3，CD=2，求BC的長。

圖1

解：如圖1，延長AB和DC交于點E，

∵四邊形ABCD為圓內接四邊形，∠B=90°，∴∠D=180°-∠B=90°，

∵∠A=60°，∴∠E=30°，

二、利用60°構造等邊三角形

1.60°結合旋轉構造等邊三角形

例2 如圖2，已知等邊三角形ABC，點P在三角形內部，已知PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB。

圖2

解：把△ABP繞點B順時針旋轉60°得到△BCQ，連接PQ，如圖2。

易得∠PBQ=60°，BP=BQ，

∴△BPQ是等邊三角形，

∴PQ=PB=8，

又 PC=10，CQ=6，

在△PQC中，PQ2+QC2=PC2，

∴△PQC是直角三角形，∠PQC=90°

∴∠BQC=60°+90°=150°，

∴∠APB=∠BQC=150°。

2.60°結合平移構造等邊三角形

圖3

例3 如圖3，AB=CD=1,AB與CD交于點O，∠BOD=60°，求證AC+BD≥1。

證明：如圖3，過B作AC的平行線，過C作AB的平行線，所作兩條線交于B1，

則ABB1C是平行四邊形。

∴BB1=AC,CB1=AB=CD。

又∵∠DCB1=∠DOB=60°，

∴△DCB1是等邊三角形，

∴DB1=CB1=CD=1。

在△BDB1中，BB1+BD≥DB1（當B在線段DB1上時等號成立），

∴AC+BD≥1。

3.60°結合割補構造等邊三角形

圖4

例4 如圖4，在△ABC中，AB=AC，當∠ABD=∠ACD=60°時，猜想AB與BD+CD的數量關系并證明。

解：AB=BD+CD,證明如下：

如圖4，延長BD至E，使BE=AB，連接AE，CE，

∵∠ABD=60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB，∠AEB=60°。

∵AB=AC，

∴AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，

∵∠ACD=60°，

∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，即∠DCE=∠DEC，

∴DE=CD，

∴BE=BD+DE=BD+CD，

∴AB=BD+CD。

以上僅是個人提供的幾種比較常見的方法，有心人將會在幾何的世界里發現更多60°的妙用，也可以類比發現特殊角度30°（解直角三角形、找其余角構造等邊三角形）和45°（解直角三角形、構造等腰直角三角形）并構建自己的知識體系，這對于數學這一學科的學習、探索將大有益處。