一道八上期中壓軸題的探究與反思

江蘇省興化市板橋初級中學 鄒連成

一、題目

已知△ABC 中，邊AB=AC=17，BC=16。

（1）△ABC的面積為__________；

（2）已知點E是BC的中點，以AB為斜邊在△ABC外構造Rt△ ABD。

①如圖1，求線段DE長度的最大值；

②如圖2，當AD=BD時，求∠BED的度數。

圖1

圖2

對于第一問，大部分學生是比較容易解決的，而對于第二問的長度最值問題、度數問題，難度有所上升，對于考生的能力要求也更高。

解：（1）連接AE，利用等腰三角形和勾股定理的知識，可以順利求出AE=15，則S△ABC=120。

下面先展示參考答案關于問題（2）的全部解答過程。

（2）①如圖3，取AB中點F，連接AE、DF、EF?！逜B=AC，BE=CE， ∴ AE⊥ BC， ∴ ∠AEB=∠ADB=90°， ∵AB=17，∴AF=EF=AB=8.5，∵DE≤DF+EF=17，∴線段DE長度的最大值為17。

圖3

圖4

②如圖4，取AB中點F，連接AE、DF、EF，同①可知DF=EF=AF，∴∠FAE=∠FEA。設∠FAE=∠FEA=α，則∠BFE=∠FAE+∠FEA=2α，∵AD=BD，∴DF⊥AB，∴∠BFD=90°，∴∠DFE=90°∴∠AED=∠FED+∠FEA=45°，∴∠BED=∠AEB-∠AED=45°。

二、解法探究

學生在第二問的解答過程中，由直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半，可以自然聯想到取邊的中點，然后連接AE、DE、EF，快速求出DF=EF=AB=，難點在于如何利用長求出最大值呢？學生在此處“卡住”，那怎么解決這個問題呢？筆者進行了如下的探究。

我們可以將這三條線段抽象出來，如圖5，那么問題就化簡成DF、EF兩條固定長度的線段繞點旋轉，則≤DE≤DF+EF，則DE≤，則DE≤17，所以DE最長為17。

圖5

對于最后一問，筆者從以下幾個方面入手去解決這個問題。

解法一：仍然采用第二小問的輔助線連接方式，然后用代數方法去解決幾何問題。

如圖6，直接設∠DEB=x，∠DEF=y，因為DF=BF=EF，所以∠FBE=∠FEB=x+y，∠FDE=∠FED=y，因為AD=BD，所以∠DFB=90°，又因為∠DOF=∠BOE，所以x+y+x=y+90°，所以x=45°。

解法二：由圖可以猜想出DE是∠AEB的角平分線，那么如果能證明這個猜想是正確的，即可把∠BED的度數算出來。

如圖7，連接AE，過點D作DF⊥AE于F、DG⊥GC交CB的延長線于點G，因為AD=BD，∠ADB=90°易證△ADF≌△BDG，所以DF=DG=GE，所以∠DEB=45°。

圖6

圖7

圖8

解法三：由等腰直角三角形，可以順利聯想到“一線三直角”。

如圖8，因為AD=BD，∠ADB=90°易證△AFD≌△DGB，所以AF=DG=GE，所以∠DEB=45°。

解法四：在研究一些復雜幾何問題時，我們經常把圖形旋轉后再研究，最常見的就是“遇等腰則旋轉”。

如圖9，將△BDE繞點D逆時針旋轉90°得△ADE'。因為∠ADB=∠AEB=90°，所以∠DBE=180°-∠DAE，所以∠DAE'+∠DAE=180°，所以E'、A、E三點共線，又因為DE'=DE，∠E'DE=90°，所以∠DE'E=∠DEB=45°。

或者可以將△ADE繞點D順時針旋轉90°得△BDE'，如圖10，證明方法同上。

圖9

圖10

三、教學反思

1.引導學生敢于動手畫圖，培養探索精神

幾何數學的學習一定是在動手操作中發展起來的，學生面對比較復雜的幾何問題時，第一反應往往是圖形太復雜了，肯定做不起來。這首先是個信心問題，教師在日常教學工作中，要多鼓勵學生動手去畫，去勇敢嘗試。學生自己可以畫出來的圖形，教師絕不包辦，畫不出來的圖形，尤其是輔助線的畫法，教師可以步步引導，講明、講透作法的原因，并且給學生最正確的示范作法，防止學生出現作法不規范的情況?？偠灾?，幾何問題一定要讓學生敢于動手畫圖，不要怕失敗，只要堅持，一定會有成功的一天。

說到輔助線的畫法教學，就拿本題作簡要的分析。這里面的三個小問題，并不是單獨的，它們其實是層層遞進，步步暗示的。第一問的面積問題，就暗示了必須要把AE連接起來，解決第二問時，就很容易看到兩個直角三角形共有一條斜邊，進而就提醒了考生，要取斜邊中線。緊接著，第三問又承接第二問的輔助線的作法，利用代數方法很快就解決了這個問題。其實這些“線索”，學生通過現場動手畫圖完全是可以想出來的，所以教師在平時教學中，要時常滲透這一思想，當學生在做題過程中能自然地想到這些，那么我想他的數學思維就形成了。

2.加強數學幾何模型教學，形成數學直覺

幾何問題的解決一直是初中教學的一大難點，主要是因為幾何定義、性質多且雜，學生記憶起來就很困難了，運用這些知識去解決問題就更難了。筆者認為，在日常教學中，可以多向學生介紹一些常見的幾何模型，比如“八字形”“K型圖”“箏型圖”等。教師在介紹這些幾何模型的過程中，靈活地將眾多幾何知識有機結合在一起，并用這些模型去解決問題，這樣學生在感受的過程中，就把零散的幾何概念整合了起來，運用起來也能更得心應手。當學生可以自覺地將幾何知識統一運用的時候，那么幾何學習就徹底活起來了。此外，幾何模型的教學不僅可以幫助學生整合知識，更可以增強學生對幾何學習的興趣，甚至有的學生會下意識地模仿教師介紹的幾何模型，去創造適合自己的專屬模型。相比較照本宣科的單純的概念教學，海量的題目覆蓋，切切實實，認真準備一些專題幾何模型教學課，我想可以真切地幫助學生減輕學習的思維壓力。換種角度看，這也是一種減負。