立幾補形思想應用策略探究

摘?要：在處理某些立體幾何問題時，所給出的立體幾何圖形往往是較為復雜的，某些元素相互離散，其整體性不是太強。此時教師可以借助補形思想，按照補形技巧去對其做出教學。結合幾何體化散為整、化難為易，在補形思想應用模式下給數學課堂的立體幾何知識帶來新的教學契機。文章探討了立幾補形思想在高中數學中的應用，并由補正方體、補長方體、補不規則幾何體等方面展開探討，結合傳統數學中的“盈不足”思想，加強立幾補形思想的應用。

關鍵詞：立體幾何;補形思想;應用探討

一、 引言

補形法是立體幾何題解題的常用方法，所謂補形法，它即是教師在教學時將一個圖形往另一個圖形上移，使其面積或者體積保持不變。之后，再重新進行拼接、得到新圖形的一類過程。補形法重點在補，而它也巧妙地完成了立體幾何圖形的化歸以及轉換。教師可以將某些不規則的圖形轉化為規則圖形，之后借助學生熟悉的方法對其做出解決。這樣一來，學生的思維也真正被教師給激發出來了，他們會自主去探索立體幾何知識的解題奧妙。

二、 立幾補形思想應用意義

補形法就是將問題中的非規則、非特殊圖形，通過一定的轉化。添加一定的輔助線，使其變為學生熟悉的圖形或者規則圖形，結合隱含條件，變化數量關系得到明確答案的一類解題方案。對于補形法的應用過程來講，教師可以將原圖形進行分析，通過適當的立體幾何補形，添以一定的輔助線，讓題目變得更加簡單。學生的思維會由補形法變得更為敏捷，在做立體幾何題目時，學生通過認真地觀察題目構成將其做出補形，這無形之中培養了學生的思維能力與解題技巧。對于某些立體幾何圖形而言，單憑抽象理解是無法搞懂題目解題關鍵的，但是結合補形法，卻可以將其轉化為較為簡單的題目。結合立幾補形思想應用，教師能夠真正強化立體幾何解題的趣味性，讓學生在分析、驗證過程中理解立體幾何學習要點，擴充自我數學思維，在題目隱含條件探尋過程中真正找準立體幾何題目突破的關鍵。

三、 立幾補形思想應用實例

（一）巧借補形思想，補正方體

對于高中階段的數學知識來講，其中的某些立體幾何知識是較為深邃的，學生在理解這些立體幾何知識時也往往難以對其進行突破。對此，教師在教學時要借助某些新的教學觀念，由整體補形思想去對學生做出要求。學生在學習過程中會將其補充成完整的模型，利用正方體的原有性質將圖中有關的元素展示出來。對于很多數學知識來講，其中所給的條件大部分就是正四面體。教師可以將這些正四面體補成正方體，之后再要求學生去進行解題。或者將正方體截去四角得到正四面體，按照正四面體的性質去進行解題。這是因為正四面體的六條棱恰好是補形之后正方體六個面的對角線，這時在進行解題時學生也會抓住正方體的基本性質，對其六個面的對角線性質進行探討。

【例1】?已知正四面體D-A1BC1的棱長為a，①求相對兩棱的距離。②求外接球半徑。③已知M、N分別是A1D和BC1的中點，求MN和面ACC1A1所成的角。

當解答出前兩問之后，學生的解題思路也一下子被教師開闊了，他們都知道了解決正四面體題目的一些基本步驟。對于第三小問而言，教師可以先引導學生觀察一下線段MN和CD的關系，得出MN是平行于CD的，顯然直線CD和平面ACC1A1所成線面角大小為45°，所以MN和ACC1A1所成的角也必定為45°。

從這個題目可以看出，對于正四面體題目來講，教師如果要求學生用常規解題法對其作出思考，對學生來說會有一定難度。這時教師可以借助割補法，適當轉換一下題目中的相互條件。或者直接要求學生在補完圖之后觀察其實際結果，依照補形思想轉化為正方體相關的問題，最終成功地完成自身解題效率的提升。

（二）巧借補形思想，補長方體

除了正方體之外，長方體結構同樣也是高中數學中常見的。當一個四面體中的三組對棱長度都對應相等時，可以把這三組對棱理解為長方體的面對角線。之后按照長方體的性質，將三棱錐補成長方體，因為長方體相對面的對角線是相等的。反之，如果將長方體截去四個角，也可以得到三組對棱相等的四面體。

同樣，當給出的條件中含有四面體，且四面體過同一頂點的三條棱兩兩相互垂直且不相等時，我們同樣可以把這個四面體看作是長方體的一角，之后將其補充為長方體。

【例2】?已知三棱錐P-ABC的三個側面兩兩垂直，Q是底面上的一點，Q點到三個面的距離分別為1、2、3，求Q點到頂點P的距離。

在此題的解題過程中，由于題目已經給出了點到面的距離，并且三棱錐P-ABC的三個側面是兩兩垂直的，所以這也很容易讓人聯想到建立坐標系，之后按照兩點之間的距離公式對其做出運算。但是在解答該道題目時，教師同樣也要關注建立坐標系和計算過程中可能會出現的一些障礙。將不規則圖形補充為長方體，讓學生借助長方體的對角線性質成功解題，完成解題效率的提升。

（三）巧借補形思想，補不規則幾何體

在高中數學中，除了學生常看到的一些規則幾何體之外，也常蘊含著一些不規則的幾何體。對于這些不規則的幾何體來講，其解題過程相對復雜，學生在解題時也很容易出現一些錯誤。對此，教師也必須對不規則幾何體圖形做出特別關注。應用補形思想，將其補形成規則幾何體，之后按照規則幾何體的性質，再次對其進行運算。如此一來，解題過程都會變得較為輕便了。學生會在解題過程中依照補形思想去認真觀察不規則幾何體的基本特征，之后結合這些不規則幾何體去進行解題。

【例3】?已知三個12×12cm的正方形被連接在一起，都按連接相鄰兩邊中點的直線剪裁成A、B兩片（如圖1），三個正方形共剪裁為6片，然后把這6片粘在一個正六邊形的外面（如圖2），然后折成一個多面體（如圖3），求該多面體的體積。

在這道題目的解題過程中，教師將不規則的幾何題補充成學生容易吃透的規則幾何體。這也常是不規則幾何體與規則幾何體的連接要點，應用補形思想去解決不規則幾何體的某些立體幾何問題，會讓解題過程變得更加簡單。

（四）巧借補形思想，做好聯系補形

某些立體幾何題目單看起來似乎毫無突破口，但是通過一定的聯系補形，教師卻可以將這些立體幾何圖形變為學生能夠認識的基本圖形。之后在聯系圖形性質的同時，將某些晦澀難懂的題目以簡單的方式呈現出來。學生在逐漸解題過程中會培養一定的學習信心，它也完成了原有題目教學的突破。

教師在做好聯系補形之后應要求學生在課下做好例題整理，將自己遇到的某些立體幾何補形題目做出歸納，完成解題過程的簡單化。

四、 結語

一些困難的立體圖形往往是另一個更完整立體圖形的一部分，如何將其恢復原狀就顯得十分重要。在立幾補形思想應用模式下，教師需關注圖形的化歸整理關系，結合學生經常遇到的一些立體幾何題目，借助補形思想，轉化為正方體、長方體、規則幾何體中的應用，將原本復雜的圖形變得更加簡單，結合某些隱藏條件讓學生開闊自我視野。學生會在補形思想應用模式下尋找到立體幾何題更加簡單的解題模式，這對于解決立體幾何題目來說是十分重要的。

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作者簡介：

郭揚文，浙江省金華市，東陽市第二高級中學。