探析轉化思想在教學中的滲透與應用

于志勇

摘 要：在教學中，往往忽視對學生數學思維的培養。運用轉化思想是數學研究中克服困難的法寶，對解決數學難題具有重大作用。主要以課例形式探究轉化思想在教學中的滲透與應用。

關鍵詞：初中數學；轉化思想；課例；滲透與應用

數學思想對于解決問題至關重要。在中學數學教學中，怎樣運用轉化思想分析、處理和解決數學問題？筆者通過人教版《圓錐的側面積和全面積》一課給出自己的見解，以供同仁參考。

一、教學過程

環節1：認識圓錐和圓錐的側面

在授課過程中，為了滲透轉化思想，利用幾何畫板制作三角形旋轉形成圓錐的動畫，然后對此提出問題。

師提出問題：直角三角形的斜邊運動形成了什么？旋轉的直角邊運動形成了什么？學生的結論是圓錐的側面和底面（圓）。師進一步追問“底面圓上取出幾個點與圓錐頂點連線，你有什么發現？”學生提出都相等，再取一些也都相等。師再次追問“圓錐的側面是什么？怎樣證明你的猜想？”學生異口同聲地回答是扇形，可是怎樣說服卻陷入了思考。此時提醒學生回憶圓的定義，學生恍然大悟，因為圓錐底面圓上各點到圓錐頂點的距離相等，所以圓錐的側面展開圖是扇形。適時，師利用動畫演示了圓錐的側面展開過程，并介紹了圓錐的高、底面半徑、母線、側面和底面等概念。

在這個環節的設計中，筆者沒有采用傳統的教學方法直接扔給學生圓錐的概念，而是利用兩段動畫激活學生的思維。學生對圓錐內存在直角三角形不易接受，對圓錐的側面轉化也存在疑問，以往的教學總是忽略這些問題，但這些思考對圖形概念的形成是必不可少的。在這個環節中，筆者進行了立體圖形與平面圖形的相互轉化，圓錐的側面與扇形的定義轉化，都是轉化思想。利用轉化思想，我們可以將圓錐的軸切面轉化為直角三角形，再利用勾股定理知二得一；可以用圓的定義轉化圓錐的側面為扇形，再利用扇形的面積公式求圓錐的側面積。

環節2：制作一個圓錐

學生已經學習了圓錐的構造，再適時地動手作一個圓錐，在實踐中探索圓錐側面和底面的相等關系。在學生通過小組合作制作出一個圓錐后，提出兩個問題。

1.有一個扇形可做圓錐的側面，怎樣給它配一個底？

學生提出：求出扇形的弧長，弧長和底面圓的周長相等，列方程求底面圓的半徑。

2.那如果有一個底面圓，怎樣給它配一個圓錐的側面呢？

學生通過討論提出：需要確定扇形的圓心角和半徑，這個扇形是不確定的。

在這個環節中，筆者借鑒以往的教學方式，讓學生制作模型。但沒有安排在課前，而是在圓錐概念形成之后，學生的思維重心落在了怎樣保證圓錐的側面和底面配套的問題上，這是平面圖形向立體圖形的轉化，合理的轉化依托在隱含的相等關系上。

環節3：推導圓錐側面積公式

師：觀察你們面前的圓錐，在不拆開的前提下，你能測量圓錐的哪些量？

學生動手操作后，提出圓錐的母線和底面的半徑。還有學生提出可以測高，但遭到了其余學生的質疑，認為誤差很大不如用勾股定理求的準確。筆者收集了四組學生的測量結果，列出母線與底面半徑的表格，接著提出問題。

師：只用圓錐的母線和底面半徑能求出圓錐的側面積嗎？

學生很茫然，不知所措。這時，筆者投影了扇形圖和扇形的兩個面積公式，對學生追問道：“你能將求圓錐側面積的問題轉化為求扇形面積的問題嗎？試著改寫一下?！睂W生立刻有了思路，想到了圓錐的母線就是扇形的半徑，圓錐的底面圓的半徑可以求扇形的弧長，于是有的小組率先提出解題方案，利用扇形的弧長與面積關系推導圓錐的側面積等于πrl；還有的小組進一步發現弧長還可以求扇形的圓心角，進而利用母線長和圓心角求扇形的面積，也可以推導出相同的結果。這時，筆者停下來帶著學生總結探索過程中出現的兩個對應關系（圓錐的底面圓周長等于側面展開后扇形的弧長，母線等于扇形的半徑）、圓心角公式（利用圓錐的底面圓周長等于側面展開后扇形的弧長推導）和圓錐的側面積和全面積公式（請兩個學生利用不同的方法板演推導），然后快速地利用公式求了四組數據的側面積和全面積。

轉化思想就像一條線將新舊知識聯系在一起，順應知識的內在聯系，在此環節中貫穿著新知識轉化為舊知識，復雜問題轉化為簡單問題，形轉化為數，未知條件轉化為已知條件，使得一節課的三個難點在轉化思想中迎刃而解。

環節4：小結、整理

通過整節課的學習，學生意識到可轉化思想。這時候教師可以再進行一些延伸，讓學生總結轉化思想的好處。一個學生回答，圓錐的側面轉化為扇形，圓柱的側面轉化為長方形就能求面積了；還有學生回答，問題也可以轉換，將未知問題轉化為已知問題，也可以將文字多的少寫點用符號語言代替……筆者提出問題旨在強化轉化意識，使其在解題時能夠自覺地轉化，從而培養學生良好的數學素養。

二、思考和啟迪

通過這節課的教學設計過程，筆者認為轉化思想在解題的過程中無處不在，在教學中我們要有意識地從教學目標的確定、教學過程的實施、教學效果的落實等各個方面來體現轉化思想。在探究新知時，要有意識地引導學生類比舊知識，將新知識轉化為舊知識，引導學生選擇適當的轉化點和轉化的方式。在解決問題時，要從高的層面歸納數式的轉化、圖形的轉化、數形的轉化等各種轉化思想的應用，要向學生提供豐富的、典型的、正確的解題思路和方法，要對知識的變化和遷移過程直觀展示，使學生能投入，有感受，不再深陷題海，而是有意識地歸納模型，真正做到學一題通一類。

參考文獻：

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[2]陳建均.以“微話題”為導向，在探討中促生成：由“圓錐的側面積和全面積”教學說起[J].中學數學，2015（4）：8-9.

編輯 謝尾合