基于數學史視角的圓面積教學設計思考

邱鍾慧 馬德宜 柳福祥

摘? ? 要?對圓面積公式推導教學中出現的三個難點——怎樣剪圓、怎樣把圓轉化為基本圖形及劉徽的割圓術求面積法的理解進行突破，可以為教師設計圓面積教學方案提供新的思路。

關鍵詞 圓面積 數學史 轉化 割圓術

一、問題的提出

圓的面積不同于矩形面積，這一內容的難點是怎樣使學生明白它的公式推導過程。學生知道了圓的周長公式，那圓的面積怎樣計算呢？圓不是規則圖形，學生只接觸過規則的平面圖形，求曲線圖形的面積，他們會無從下手，教師讓學生仔細想想：能把圓分割后拼成別的圖形嗎？由此引起學生的思考。轉化是解決幾何圖形面積問題的利器之一，極限思想在其過程中是必不可少的，這兩種思想是本節課的難點。課前，教師先讓學生猜一猜：圓的面積是與直徑有關，還是與半徑有關？周長呢？然后引導學生用格子數，再考驗學生的眼力，圓內接正方形，它和圓的面積會有聯系嗎？圓外切正方形，它和圓的面積會有聯系嗎？最后教師引導學生剪一剪、拼一拼，應該怎樣轉化？沿什么剪？怎樣拼？怎樣理解劉徽的割圓術？教師可以從以上一系列問題，有針對性地設計教學。

二、圓的面積的教學難點及對策

把數學史融入課堂，能向學生清楚地闡述數學的歷史，揭示數學規律。但是在數學教學中，數學史并未得到教師的重視，他們忽略了數學史的人文價值。

本文找到了關于圓面積的史學知識，并結合學生在圓面積教學中的難點，為教師提供關于數學史融入課堂的教學設計參考，使數學史的魅力真正展現出來。

難點1：怎樣剪圓

在教學開始時，教師引導學生用數格子的方法來猜一猜圓面積，但是數格子并不能準確地算出圓的面積，所以教師應該用更好的教學方法來推導圓的面積計算方法。

德國數學家開普勒為圓面積的計算提供了很好的分割方法。他認為可以模仿切西瓜，將圓分為n個相等的小扇形[1]。古人認為將圓剪成相似的六邊形是一個好辦法，但是開普勒覺得剪成六邊形不能準確地求出圓面積，所以他將圓分成無數個扇形，最后圓變成了直線圖形。

在教師的教學設計里，添加學生手工制作環節的時候，考慮到學生可能對裁剪圓這個環節無從下手，教師可以給他們講講開普勒切西瓜的故事，這對他們怎樣剪圓會有所啟發。學生會把圓分成6個扇形、8個扇形、16個扇形、32個扇形……在剪的過程，學生會經歷古代數學家遇到的問題，也就是說學生的認知過程將會重現數學史發展的過程。

難點2：怎樣把圓轉化為基本圖形

先剪再拼就是轉化的過程。學生看到平行四邊形就會聯想到割補平移法，把它轉化成長方形，由此得出平行四邊形面積計算公式。教師鼓勵學生動手剪開圓，接著就會思考如何把小扇形拼成其他圖形。

第一種拼法（圖1）：剪成16個近似的三角形，拼成平行四邊形，分析平行四邊形與圓的關系，這樣就能得出圓面積公式。

第二種拼法（圖2）：剪成16個近似的三角形，拼成長方形，這樣也能推出圓的面積公式。

以上兩種拼法都用了轉化這種數學思想，將圓先剪再拼。教師在講解轉化思想的時候，可以這樣引導學生：把一個圓轉化成平行四邊形或長方形。雖然圓的外表變了，但面積沒變。不管學生怎樣拼合小扇形，圓的面積一直不變，這就是出入相補原理。出入相補原理，可以理解為：如果把平面圖形剪成n份，那么把n份圖形的面積加起來，結果和該圖形的面積相等。所以不管圖形移到什么位置，經過怎樣的裁剪，拼合得到的圖形面積都會和原圖的面積相等[2]。

難點3：劉徽的割圓術求面積法

前面已經學過圓的周長公式，學生對劉徽的割圓術已經有一定的了解，下一節課“圓的面積”也會用到割圓術，學生對割圓術不再陌生。大數學家劉徽的割圓術：圓內接正多邊形，它的邊數不停地增加，正多邊形的面積與圓的面積的誤差會逐漸減少。

劉徽的割圓術求面積法，對學生來說是很難的，教師在教學設計時有必要介紹劉徽的割圓術求面積法的具體內容。首先介紹劉徽怎樣定義“余徑”、余徑與正多邊形有什么聯系。在《九章算術》里，劉徽[3]指出：“觚面之外，猶有余徑。以面乘余徑，則冪出觚表。”所謂“余徑”，是指分隔線的邊外部分。在圖3中，余徑EF是圓半徑在圓與內接正多邊形之間的一段。余徑EF和內接正多邊形的邊長AB相乘，就能求出四邊形ACBD的面積，算出它的面積與圓內接正六邊形的和，圓的面積就比它的面積小。

最后，教師要介紹劉徽是怎樣把正多邊形與圓聯系在一起的，怎樣找出圓的面積范圍。圖4是圓內接正六邊形，假設多邊形有n條邊，則S6是正六邊形的面積，S12是正十二邊形的面積，計算過程為：

則：正十二邊形面積為6·SAFBO，而四邊形AFBO的面積是三角形ABO的面積加上三角形ABF的面積得來的。

SAFBO=SABO+SABF

S12=6SAFBO

∴正十二邊形面積<圓面積

在圖4中，小長方形的圓外邊界構成一條包圍圓周的曲線，稱作“破缺”的外切正多邊形[3]。

“破缺”的外切正多邊形的面積為四邊形ACBD的面積加上三角形ABO的和的6倍，即：

SACDB=EF·AB

破缺外切正多邊形面積=6（SACDB+SABO）

∴正十二邊形面積<圓面積<破缺外切正多邊形面積

六年級學生可以依靠學過的三角形、矩形面積公式來求出圓的面積范圍。正12邊形的面積與圓的面積相比仍然存在誤差，因此，還要繼續增加多邊形的邊數，這是一個無窮的過程。

這個過程計算量很大，教師要嘗試輔導學生計算正12邊形和破缺外切多邊形的面積，重要的是讓他們領悟“無限逼近”這個思想的含義。

劉徽用割圓術的目的就是推出圓的面積范圍，這種方法是把不知道的圓的面積夾在兩個已知的圖形面積之間，不停地增加正多邊形的邊數，使兩個已知的圖形面積與圓面積的誤差逐漸減少，即左右夾逼。總的來說，劉徽把“未知”變為“已知”，把“無限”變為“有限”，很好地運用了極限思想來解決問題。

三、教學上進一步反思

如果教師能完美地把數學史融入課堂，那么學生的認知障礙將被打破，數學史料也將在實踐層面得到較好的發展。當教師介紹我國數學家劉徽的偉大成就時，學生可能很享受這堂課的學習過程，可能會因為自己的求知過程與大數學家的經歷很相似而感到驚喜和自豪。教師帶學生進入劉徽割圓術的世界之后，引起學生更深入的思考：圓的剪拼還有其他方案嗎？

其實，圓的面積公式推導的方法不止前面的兩種。國內的數學教科書中有六個版本，浙教版的數學教材提到，可以把圓內的小扇形拼成梯形、三角形。

拼法一（圖5）：剪開圓后，拼成近似的梯形，推出圓的面積公式。

拼法二（圖6）：剪開圓后，拼成三角形，推出圓的面積公式。

拼法三（圖7）：將圓平均分成16份后，不剪開，先求出1個扇形的大小，1個扇形面積近似1個三角形面積，再乘16，算出圓的面積。

考慮到學生現有的數學基礎，大部分教材選擇拼成平行四邊形和長方形是因為方法簡潔、容易理解。而后面介紹的三種拼法所推導的公式對學生來說比較難證。圓面積計算公式的推導方式有很多，但不需要每種方法都掌握。讓學生在整個推導過程中感悟“無限逼近”的含義，以及轉化和極限的數學思想即可。

在逐一分析以上的推導過程后，教師發現學生對圓面積的轉化和極限思想有了更深刻的理解。本文分析了學生在圓面積教學中可能會遇到的難點，希望能為廣大教師的教學設計提供一種新的思路。

參考文獻

[1] 顧東春.開普勒與葡萄酒[J].課外生活：小學版，2007（03）.

[2] 彭剛.出入相補原理及其應用[J].四川教育學院學報，2009，25（04）.

[3] 王能超.千古絕技“割圓術”——劉徽的大智慧：第2版[M].武漢：華中科技大學出版社，2002.

[責任編輯：陳國慶]