概念域：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)有視角

呂程 王凌

從知識(shí)的類型給數(shù)學(xué)教學(xué)分類，一般可以分為概念教學(xué)、命題教學(xué)和解題教學(xué)。可見(jiàn)，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)小數(shù)”一課，是小學(xué)階段第一次教學(xué)小數(shù)的知識(shí)，也是學(xué)生數(shù)的概念的一次重要拓展，所以小數(shù)這一概念屬于小學(xué)階段的核心數(shù)學(xué)知識(shí)。首先來(lái)看課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于這一內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)：能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識(shí)小數(shù)，能讀、寫小數(shù)[1]。再看教材是如何界定一位小數(shù)概念的：像上面的0.5、0.4、1.2和3.5都是小數(shù)[2]。在實(shí)際教學(xué)和聽(tīng)課中，廣大一線教師往往從教材的文本思路出發(fā)，通過(guò)聯(lián)系分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系，最終讓兒童建立小數(shù)的概念。但是筆者在多次在教研或聽(tīng)課的過(guò)程中，對(duì)剛上完本課的不同班級(jí)的學(xué)生做過(guò)調(diào)查，讓學(xué)生用自己的方式畫出0.8這一小數(shù)，調(diào)查結(jié)果顯示，無(wú)法畫出或不能正確畫出這一小數(shù)的學(xué)生占有相當(dāng)大的比例。

以上調(diào)查反映出的問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中并沒(méi)有真正建立對(duì)小數(shù)本質(zhì)意義的理解，所以筆者將從概念域的視角來(lái)進(jìn)一步考量當(dāng)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)。所謂概念域，數(shù)學(xué)教育學(xué)界是這樣定義的：一個(gè)概念C的所有等價(jià)定義的圖式，叫做概念C的概念域[3]。舉個(gè)例子來(lái)解釋，平行四邊形的概念可以有如下幾種表述：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形;一組對(duì)邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形;兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形;兩組對(duì)角分別相等的四邊形叫做平行四邊形。從邏輯學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，四種說(shuō)法都是平行四邊形的概念，而且四種概念都是關(guān)于平行四邊形的真命題，同時(shí)四種概念可以相互推導(dǎo)，因此形成了概念圖式，即成為平行四邊形的概念域。基于概念域的視角，筆者重新審視“認(rèn)識(shí)小數(shù)”這節(jié)課，從而讓學(xué)生能夠感悟小數(shù)概念的本質(zhì)。

一、概念形成：讓概念域孕育土壤

概念域的形成，首先要促使學(xué)生建構(gòu)不同形式的概念，即初步建立起概念框架。結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和兒童的認(rèn)識(shí)規(guī)律，小數(shù)概念需要通過(guò)辨析、比較等教學(xué)方式，引導(dǎo)兒童逐步建立。以下是課堂教學(xué)環(huán)節(jié)。

師：同學(xué)們，咱們的校園很美，一起來(lái)看看，圖中有哪些數(shù)學(xué)信息呢？

生：教室的門高2米、膠水瓶長(zhǎng)0.1米、旗桿高8米、班牌長(zhǎng)0.6米。

師：你能先把這些數(shù)分一分類嗎？同桌之間交流一下。

生：2米和8米可以分為一類，0.1米和0.6米可以分為一類。

師：這里的0.1和0.6這類數(shù)叫什么名字呢？下面請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)書閱讀課本88頁(yè)上方的一段文字。

學(xué)生匯報(bào)：左邊這一類數(shù)，像0、1、2、3、4、5、6……這樣的數(shù)叫作自然數(shù)，又稱作整數(shù)。右邊這一類數(shù)，我們稱作小數(shù)，小數(shù)中間的點(diǎn)叫小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊叫整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊叫小數(shù)部分。

師：今天老師就和同學(xué)們一起來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)。

在本課之前，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)有對(duì)小數(shù)的模糊認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)是基于經(jīng)驗(yàn)層面的，所以學(xué)生能夠通過(guò)經(jīng)驗(yàn)來(lái)區(qū)分小數(shù)和自然數(shù)。在此基礎(chǔ)上的辨析、自學(xué)、討論、交流，可以讓兒童初步地形成對(duì)小數(shù)的表象，即具備幾點(diǎn)幾這樣特征的數(shù)就是小數(shù)。這樣的設(shè)計(jì)就是奧蘇伯爾提及的“有意義的接受學(xué)習(xí)”，既符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，又順應(yīng)了學(xué)生腦海中關(guān)于小數(shù)概念的思維經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生已有的小數(shù)概念是建構(gòu)小數(shù)概念域的基礎(chǔ)，但此時(shí)的小數(shù)概念僅僅是概念的外在形式。學(xué)生想要內(nèi)化小數(shù)概念，還需要經(jīng)歷概念同化的過(guò)程。

二、概念同化：讓概念域?qū)崿F(xiàn)完善

以上提到的小數(shù)概念是通過(guò)描述數(shù)的特征的方式界定的，而要了解小數(shù)的本質(zhì)是什么，學(xué)生需要進(jìn)一步的信息獲取和加工習(xí)得。而在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，一線教師通常結(jié)合米尺，通過(guò)找米尺中的十分之幾的數(shù)和零點(diǎn)幾的數(shù)一一對(duì)應(yīng)的方式，實(shí)現(xiàn)舊知識(shí)和新知識(shí)的聯(lián)系，再通過(guò)教師的講解，學(xué)生才可以比較熟練地說(shuō)出零點(diǎn)幾的小數(shù)和某一個(gè)十分之幾的分?jǐn)?shù)相等。這樣教學(xué)學(xué)生就能真正理解小數(shù)概念的內(nèi)涵嗎？答案顯然是否定的。到底如何從知識(shí)本質(zhì)的角度，讓學(xué)生感悟小數(shù)的概念，建立關(guān)于小數(shù)的概念域呢？筆者設(shè)計(jì)了如下教學(xué)。

教師教學(xué)1/10與0.1的關(guān)系之后：

師：老師給大家布置一個(gè)小任務(wù)，請(qǐng)你們?cè)诰毩?xí)紙上涂出4分米和7分米，并用分?jǐn)?shù)和小數(shù)來(lái)表示。

學(xué)生匯報(bào)過(guò)程中教師追問(wèn)：這里的0.4米是什么意思呢？下面老師接著往下涂，要涂到0.9米還需要再涂幾格呢？（2格）為什么？

生：0.9米就是9/10米。

師：下面我們觀察這些數(shù)據(jù)，思考三個(gè)問(wèn)題：

1. 這些分?jǐn)?shù)有什么相同的地方呢？小數(shù)呢？

2. 怎樣解釋0.9米的意思？

3. 你還有什么發(fā)現(xiàn)？

師：剛才我們?cè)?米中，找到了小數(shù)。這里還有一個(gè)長(zhǎng)1分米的直條，我們把它平均分成10份，其中的1份就是1厘米，以分米做單位，用分?jǐn)?shù)表示就是1/10分米，用小數(shù)怎么表示呢？那0.1分米是什么意思呢？

學(xué)生匯報(bào)。

師：這個(gè)這直條中，還有幾個(gè)空，你會(huì)填嗎？填在練習(xí)紙上。

學(xué)生匯報(bào)。

師：不僅長(zhǎng)度單位中有小數(shù)，還有一個(gè)地方常常會(huì)用到小數(shù)。（買東西）

屏幕上的直條表示一元，我們也把它平均分成了10份，其中的1份是多少錢呢？（1角）用小數(shù)怎么表示？（0.1元）

師：根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，大家都知道1角等于0.1元。那你能不能用今天我們所學(xué)的知識(shí)來(lái)解釋0.1元是什么意思呢？

學(xué)生自主填寫后匯報(bào)。

師：直條上還有幾個(gè)空，你還能迅速地填出來(lái)嗎？

學(xué)生匯報(bào)。

師：剛才我們?cè)陂L(zhǎng)度單位、貨幣單位單位中找到了小數(shù)，下面老師把它們的單位都省去，把這個(gè)直條看做1，平均分成10份，其中的1份是多少？（1/10）也可以表示為？（0.1）

理解小數(shù)概念的關(guān)鍵是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到一位小數(shù)來(lái)源于分?jǐn)?shù)，且一位小數(shù)的意義與十分之幾的分?jǐn)?shù)的意義是相同的，都是把一個(gè)數(shù)平均分成10份，表示其中的幾份，這不僅需要學(xué)生了解兩類數(shù)可以進(jìn)行表征間的轉(zhuǎn)換，更重要的是讓學(xué)生理解兩類數(shù)的意義是完全相同的。在教學(xué)中，前者關(guān)注的是小數(shù)概念的外在形式，而后者是從數(shù)的意義的層面理解小數(shù)，屬于小數(shù)概念的內(nèi)化形式。基于此，教師需要從概念域的視角，在教學(xué)當(dāng)中讓兒童建構(gòu)小數(shù)概念的不同等價(jià)形式：像0.5、0.4、1.2和3.5這樣的數(shù)叫做小數(shù);把一個(gè)數(shù)平均分成10份，表示其中的一份或若干份，這個(gè)結(jié)果稱作小數(shù)（一位小數(shù)）。反觀筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)，時(shí)刻關(guān)注著一位小數(shù)和十分之幾分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，不僅僅體現(xiàn)了兩類數(shù)的轉(zhuǎn)換，更多的是讓兒童不斷地經(jīng)歷小數(shù)意義的建構(gòu)是如何從分?jǐn)?shù)意義中同化來(lái)的。從概念同化的角度來(lái)看，應(yīng)讓兒童獲取的新知識(shí)融入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中，并使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以拓展。而這里就需要站在概念域的視角，通過(guò)對(duì)不同形式的等價(jià)概念的理解，建立對(duì)小數(shù)概念的整體框架，最終在小數(shù)的表象中抽象出小數(shù)的意義與內(nèi)涵。

三、概念運(yùn)用：讓概念域穩(wěn)定固化

通過(guò)有意義的接受學(xué)習(xí)，讓兒童形成小數(shù)概念的外在形式，并激活十分之幾的分?jǐn)?shù)并與之產(chǎn)生概念聯(lián)系，學(xué)生的腦海中逐漸形成關(guān)于小數(shù)的不同形式的等價(jià)概念，同時(shí)在不同的情境中使兒童關(guān)于小數(shù)的概念域的建構(gòu)得以完善。從數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的角度來(lái)看，此時(shí)兒童對(duì)小數(shù)的概念域的認(rèn)知正處于知覺(jué)水平，要上升到思維水平還需要進(jìn)行概念的運(yùn)用，進(jìn)而使習(xí)得的小數(shù)概念得以穩(wěn)定固化。筆者設(shè)計(jì)了三組不同思維水平的練習(xí)。

南京海底世界規(guī)定1.2米以下的小朋友可以享受半價(jià)優(yōu)惠，小明身高1米6分米，可以享受半價(jià)優(yōu)惠嗎？小紅身高1米8厘米能享受半價(jià)優(yōu)惠嗎？

題組1從左到右的三幅圖的練習(xí)設(shè)計(jì)，從數(shù)形結(jié)合的角度，有梯度地鞏固學(xué)生腦海中對(duì)小數(shù)概念域的建構(gòu)。題組2中上面兩幅圖先出示空白的圓和長(zhǎng)方形，讓學(xué)生說(shuō)出怎樣在圖中表示出0.4和0.7，然后出示下面兩幅圖，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出每幅圖分別表示什么小數(shù)。要解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生必須調(diào)用剛建構(gòu)的對(duì)小數(shù)概念的認(rèn)知，而且對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，需要再一次體驗(yàn)小數(shù)是平均分成10份后所得來(lái)的，與十分之幾的分?jǐn)?shù)的意義一樣，這是對(duì)小數(shù)概念本質(zhì)的強(qiáng)化。題組3的應(yīng)用，從抽象的數(shù)學(xué)中回歸到現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)情境，學(xué)生對(duì)這個(gè)題組的探討，是基于自身對(duì)小數(shù)概念內(nèi)化形式的理解，進(jìn)一步鞏固學(xué)生小數(shù)概念域的建構(gòu)，同時(shí)讓兒童感受到小數(shù)概念的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

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[2] 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)（三年級(jí)下冊(cè)）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2013.

[3] 喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]