空間分數階Schr?dinger方程調制不穩定性的數值研究

李文斌,王冬嶺

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

調制不穩定現象是非線性介質中普遍存在的現象,該現象的應用十分廣泛,如聲波的傳遞,水波的擴散,以及光學等很多領域[1].研究這種現象常用的模型為非線性薛定諤方程,該方程是弱非線性色散波演化的通用模型.在該非線性方程中,當滿足Benjamin-Feir-Lighthill準則,即當非線性項和色散對該波的頻率貢獻相反,就會出現調制不穩定性.本文使用文獻[2]中線性穩定性分析的方法來研究這種調制不穩定性是如何產生的.

文獻[3]研究了整數階薛定諤方程的這種不穩定現象,并且證實這種現象對于不同形式的薛定諤方程以及不同初值條件下都表現為相似的結構,即不穩定區域都是由兩部分構成:中間是一個波動的楔形區域,兩邊分別是一個扇形的平面區域.

文獻[4]研究了分數階薛定諤方程的調制不穩定性,證明了分數階拉普拉斯算子的指數α對帶寬,增益譜,以及最大頻率的影響.通常根據Benjamin-Feir-Lighthill準則驗證調制不穩定性存在的條件.本文主要通過數值研究的方法把文獻[3]中關于經典整數階薛定諤方程調制不穩定性的主要結果和發現推廣到空間分數階薛定諤方程,并且分析和比較空間分數階導數的階α對于不穩定區域的各種影響.發現,當α=2時,得到和文獻[3]中完全一致的結果,當該參數改變的時候,將顯著影響不穩定區域的大小和形狀.

首先驗證如下整數階薛定諤方程調制不穩定性的存在條件.

使用文獻[2]中線性穩定性分析的方法來研究這種調制不穩定性產生的機制.首先,假設方程(1)存在穩態擾動解

其中P為初始頻率,φ(x,t)為擾動項.將解(2)帶入方程(1)可得

其中φ?為φ的復共軛.方程(3)有形式解

其中k為擾動波的個數,ω為擾動頻率.將解 (4)帶入方程 (3)并分離 ei(kx?ωt)和 e?i(kx?ωt)的系數可得方程組

結合兩個等式可計算出ω關于k,P的關系式

由Benjamin-Feir-Lighthill準則[1]可知,當ω為實數時,該方程的穩態解u(x,t)是穩定的.當參數ω為復數時,該方程的狀態解u(x,t)呈指數增長,即出現調制不穩定性,顯然存在P>0使得ω為復數,此時該解為不穩定的.

本文主要研究空間分數階非線性薛定諤方程在不同初值條件下的調制不穩定性.運用Strang分裂方法和傅里葉譜方法求出該方程的數值解,并與整數階的方程進行比較,可以得出空間分數階非線性薛定諤方程同樣具有這種不穩定性.并給出了α取不同值時的數值結果.從而證實了空間分數階薛定諤方程的調制不穩定性的存在性以及這種不穩定性的普遍行為.

近年來分數階拉普拉斯算子應用十分廣泛,因此將薛定諤方程中的拉普拉斯算子替換為分數階拉普拉斯算子,分數階拉普拉斯算子可以表示異常的擴散現象.因此本文中研究空間分數階薛定諤方程是否仍具有和整數階薛定諤方程類似的調制不穩定性.

分數階拉普拉斯的定義[5-6]有多種,在文獻[5]中,最常見的是如下的譜方法定義:

其中F,F?1為連續的傅里葉變換和傅里葉逆變換,當α=2時,即為經典的拉普拉斯算子.當1<α<2時,可知該分數階拉普拉斯算子為非局部算子.

薛定諤方程是量子力學中的一個基本方程,它描述了粒子在空間中某一位置的概率.文獻[7]從高斯分布,導出了整數階薛定諤方程.文獻[8]證明了存在另外的非高斯分布,即 Lévy-α穩定的概率分布.而布朗運動是Lévy-α穩定的隨機過程,Laskin導出了分數階薛定諤方程.描述這類過程的主要數學模型為分數階拉普拉斯算子,用分數階拉普拉斯算子代替整數階拉普拉斯算子可以描述異常的擴散現象.由于分數階拉普拉斯算子的非局部性,研究空間分數階薛定諤方程是否仍然具有調制不穩定性,以及不穩定性存在的條件.

空間分數階薛定諤方程有很多的應用,可參考文獻[9-11].本文主要研究空間分數階薛定諤方程

當α=2時,該方程即為常見的整數階薛定諤方程.

2 空間分數階薛定諤方程

本文主要研究空間分數階薛定諤方程

主要研究以下三個初值

(8a),(8b),(8c)分別為三個不同的初值.由圖1可以看出(8a)為高斯型初值,(8b)為正割型初值,(8c)為盒狀初值,這三個初值都是在(?1,1)上波動,在兩邊均為常數.這樣就可以隨時將中間的波動區域與兩邊的常數區域作比較.

圖1 初值(8a),(8b),(8c)

求解該方程的數值解法本文使用Strang分裂方法[12],該方法可將非線性偏微分方程分解為一個線性方程和一個非線性方程,從而方便計算偏微分方程中出現的非線性問題,然后將線性問題的解與非線性問題的解結合起來即可得到該方程的解.

3 空間分數階 Schr?dinger方程調制不穩定分析

由文獻[4]的方法可知,假設方程(7)存在穩態擾動解

其中P為初始頻率,φ(x,t)為擾動項.將解(9)帶入方程(10)可得

其中φ?為φ的復共軛.方程(10)有形式解

其中k為擾動波的個數,ω為擾動頻率.將解(11)帶入方程(10)可得

由于

因此可將等式(12)兩端作傅里葉變換后作傅里葉逆變換,并分離ei(kx?ωt)和e?i(kx?ωt)的系數可得方程組

結合兩個等式可計算出ω關于k,P的關系式

由 Benjamin-Feir-Lighthill準則可知,當ω為實數時,該方程的狀態解u(x,t)是穩定的.當ω為復數時,該方程的狀態解u(x,t)是不穩定的,即出現調制不穩定性,顯然存在P>0使得ω為復數,此時解為不穩定的,且頻率隨α的變化而變化,即該不穩定性受α影響.

4 數值解法

應用分裂方法[13-14],可將薛定諤方程分解為

其中(16)為線性分數階方程,(17)為非線性方程.由Strang分裂方法[12]得出該方程的解

SA表示線性方程(16)的真解,SB表示非線性方程(17)的真解.

4.1 線性項處理

首先線性項(16),使用傅里葉級數展開形式

a,b為一個周期的兩個端點,T表示周期,即T=[a,b],且u(a)=u(b).由文獻[5-6]可知可表示為

線性項(16)可化為

由指數函數的正交性可將上述方程化為

解常微分方程(21)可得

其中τ為時間步長,且um+1,um為第m+1和m層時間的數值解.截取令

將(22)式寫成向量的形式為

那么可以求出該線性方程的解

4.2 非線性項處理

首先證明|u|2是常數.在方程(17)兩端同時乘以,可得

然后取方程(17)的共軛后乘以u可得

將上述兩式相加即可證得|u|2是一個常數,則非線性方程(17)可看作常系數常微分方程,解該常微分方程可得

將上述線性方程的解與非線性方程的解分別帶入Strang分裂方法中,可以得到求解該方程的Strang分裂方法

5 空間分數階 Schr?dinger方程的數值結果

根據上面的數值方法,取周期T=200,x=[?50,50],t=[0,10],N=1000.得出了初值(8a),(8b),(8c)分別取α=2,1.6,1.2時的數值結果.

圖2|U|在初值(8a),α=2,1.6,1.2的俯視圖

圖3 初值(8a),α=2,1.6,1.2,在t=10的切面圖

圖4|U|在初值(8b),α=2,1.6,1.2的俯視圖

圖5 初值(8b),α=2,1.6,1.2,在t=10的切面圖

圖6|U|在初值(8c),α=2,1.6,1.2的俯視圖

圖7 初值(8c),α=2,1.6,1.2,在t=10的切面圖

圖2,圖 4,圖 6是空間分數階薛定諤方程在初值 (8a),(8b),(8c)時,α分別取2,1.6,1.2時的密度圖像俯視圖,當α=2時,為整數階薛定諤方程.通過與整數階薛定諤方程的比較,可以看出該方程在初值(8a),(8b),(8c)在不同α的取值下,圖像仍是由中間的楔形區域和兩邊的扇形區域組成,可以看出楔形區域仍是振蕩的,扇形區域仍是|U|=1的平面.三個圖形整體變化趨勢仍保持相似,但是隨著α的值的變小,楔形區域的振蕩寬度變小,峰值反而變大.圖3,圖5,圖7表示該方程在初值(8a),(8b),(8c)時,α分別取2,1.6,1.2且t=10時刻的切面圖像.從圖中可以看出在t=10時刻,在不同α的取值下,該方程在初值(8a),(8b),(8c)的振蕩區域和峰值,以及漸進結果.

由以上空間分數階的數值結果可以看出,當從整數階薛定諤方程變化為空間分數階薛定諤方程時,圖像仍然由兩部分構成,中心仍未振蕩的楔形區域,兩邊為兩個扇形平面,但隨著α變小中間楔形區域振蕩范圍變小.可以看出對于空間分數階薛定諤方程來說,該不穩定性仍然不受初值的影響,即可說明這種調制不穩定性對于不同的背景下仍然保持相似的不穩定性結構.

6 結論

結合整數階薛定諤方程的調制不穩定性[3]可知,從整數階薛定諤方程在以上三個不同初值的數值結果可以看出相關散射問題的頻譜都是連續的.并且其漸進行為,峰值,以及峰值的位置都是非常相似的.同樣,空間分數階薛定諤方程對于不同的初值,不同的α取值,數值結果的整體變化過程基本上保持不變.但隨著α取值的變化,圖像的峰值以及振蕩范圍發生了明顯的變化.雖然從整數階到分數階的變化過程中,隨著α的逐漸變小,圖形的振蕩區域變小,但整體的進化趨勢仍然是相似的,這表明這種調制不穩定行為是一個通用的特性,即在不同物理背景下這種不穩定性是相似的.下一步,將進一步從數學上嚴格分析本文的發現,推導出不穩定區域和分數階指標α之間的關系.