覆蓋近似空間的連續與同胚映射

何家莉

(玉林師范學院數學與統計學院,廣西 玉林 537000)

1 預備知識

由于科技的不斷進步,產生了大量不完備的信息系統.再用經典的數學理論處理不完備的信息系統變得極其困難.為了解決這一困難,文獻[1]提出了模糊集理論.雖然該理論可以用來處理不確定性問題,但是該理論添加了人為的因素,會導致結果的不精確.文獻[2]提出了粗糙集理論.該理論是一種處理不完備、不精確信息系統的強大工具,也是處理不確定知識的有效工具,因此該理論被成功地應用于許多領域.但是Pawlak粗糙集（也稱經典粗糙集）是在等價關系的基礎上定義上下近似算子,由于等價關系是很強的關系,因此有諸多局限.為了解除這種限制,文獻[3]利用覆蓋關系來代替等價關系,進而在1983年提出了覆蓋粗糙集這一概念.隨著對覆蓋粗糙集研究的不斷深入,獲得了大量優秀結果.文獻[4]利用協調映射研究了覆蓋粗糙集的不變性,文獻[5]利用拓撲的方法研究了覆蓋廣義近似空間.文獻[6-7]研究了覆蓋粗糙集的上近似算子成為拓撲閉包算子的充要條件以及對應的隸屬度函數等問題.文獻[8]研究了一般關系的粗糙集[8].文獻[9-10]研究了覆蓋近似空間的拓撲刻畫及對應的公理化刻畫等問題,文獻[11]研究了覆蓋近似空間的覆蓋的約簡等.基于以上討論,為了更好地研究覆蓋近似空間,本文將討論覆蓋近似空間的連續性和分離公理,進而在某種程度上提供覆蓋近似空間的一種分類方法.為此,先介紹本文需要的基本概念.

定義 1.1[3]設U是任意一個論域以及C是論域U的一個不包含空集子集族.如果∪C=U,則稱C是論域U的一個覆蓋,稱(U,C)是覆蓋近似空間.

定義 1.2[9]設(U,C)是覆蓋近似空間.對任意的x∈U以及任意的X∈P(U),定義如下:

引理1.1設X和Y是兩個集合,f:X→Y是映射.則

(1)對任意的A?X,有A?f?1(f(A));

(2)對任意的B?Y,有f(f?1(B))?B,若f為滿射,則有f(f?1(B))=B;

(3)對任意的A?X,B?Y,則f(A)?B當且僅當A?f?1(B).

2 覆蓋粗糙連續映射與覆蓋粗糙同胚

引理 2.1設(U,C)是覆蓋近似空間,則對任意的X?U以及Xi?U(i∈I),有

證明(1)首先證明對任意的,由定義1.2可得到,進而可得到N(y),再由定義1.2可得到,從而有,因此

下面將證明反包含關系.

(3)用類似于(2)的證明方法,同理可證結論成立.

定義 2.1設(U1,C1)和(U2,C2)是兩個覆蓋近似空間,f:U1→U2是一個映射.若對任意的X?U1有,則稱f為覆蓋近似空間(U1,C1)到覆蓋近似空間(U2,C2)的覆蓋粗糙連續映射.若f是一個雙射且f和f?1都是覆蓋粗糙連續映射,則f稱為覆蓋近似空間(U1,C1)到(U2,C2)的覆蓋粗糙同胚映射.其中f(X)={f(x):x∈X}.

命題 2.1設(U1,C1)和(U2,C2)是兩個覆蓋近似空間,f:U1→U2是映射.則下列四條結論等價:

(1)f是(U1,C1)到(U2,C2)的覆蓋粗糙連續映射;

(2)對任意的Y?U2,有;

(3)對任意的Y?U2,有;

(4)對任意的x∈U1,有.

證明(1)?(2).設(1)成立,則對任意的Y?U2,由f是覆蓋粗糙連續映射以及引理1.1(2)知.再由引理1.1(3)知

因此結論(2)成立;反之設(2)成立,對任意的X?U1,有

(2)?(3).設 (2)成立.對任意的Y?U2,由 (2)得又由引理2.1(1)及f?1保持補運算可知

(1)?(4).(1)?(4)顯然成立.設 (4)成立,對任意的X?U1有由 (4)可知.再由引理2.1(4)及f保持并運算可知

綜上所述(1)?(4).

定理 2.1設(U1,C1),(U2,C2)和(U3,C3)是覆蓋近似空間.若

都是覆蓋粗糙連續映射,則g?f:(U1,C1)→(U3,C3)也是覆蓋粗糙連續映射.

證明由f是覆蓋粗糙連續映射可知對任意的X?U1,有又由于f(X)?U2以及g是覆蓋粗糙連續映射知.從而.即.故g?f也是覆蓋粗糙連續映射.

由定義2.1,命題2.1以及定理2.1容易得到下面的定理:

定理 2.2設(U1,C1)和(U2,C2)是兩個覆蓋近似空間,f:U1→U2是雙射.則下列四條結論等價:

(1)f是(U1,C1)到(U2,C2)的覆蓋粗糙同胚映射;

(2)對任意的X?U1,有

(3)對任意的Y?U2,有

(4)對任意的Y?U2,有

定理 2.3設(U1,C1),(U2,C2)和(U3,C3)是覆蓋近似空間,則有:

(1)恒等映射i:(U1,C1)→(U1,C1)是覆蓋粗糙同胚映射;

(2)如果f:(U1,C1)→(U2,C2)是覆蓋粗糙同胚映射,則f?1:(U2,C2)→(U1,C1)也是覆蓋粗糙同胚映射;

(3)若f:(U1,C1)→(U2,C2)和g:(U2,C2)→(U3,C3)都是覆蓋粗糙同胚映射,則g?f:(U1,C1)→(U3,C3)也是覆蓋粗糙同胚映射.

定義 2.2對覆蓋近似空間(U,C)中的任意一個點x,若則稱覆蓋近似空間(U,C)滿足T1分離性,也稱(U,C)為T1空間.

例2.1存在滿足T1分離性的覆蓋近似空間.

設U是任意一個論域,C=P(U){?}.由定義2.2,容易驗證覆蓋近似空間(U,C)滿足T1分離性.

例2.2存在不滿足T1分離性的覆蓋近似空間.

設U是任意一個論域,取C={U}.由定義2.2,容易驗證(U,C)不滿足T1分離性.設(U,C)是任意一個覆蓋近似空間,以C為閉子基誘導的拓撲記作τC.拓撲空間(U,τC)稱為覆蓋近似空間(U,C)誘導的拓撲空間.

引理 2.2拓撲空間(U,τ)是拓撲T1空間當且僅當U中的每一個單點集是閉集.

定理 2.4設(U,C)是覆蓋近似空間且(U,τC)是由(U,C)誘導的拓撲空間.則覆蓋近似空間(U,C)是T1空間當且僅當(U,τC)是T1拓撲空間.

證明?設覆蓋近似空間(U,C)是T1空間,則對任意的x∈U有{x}=N(x).否則,存在a∈N(x),由定義 1.2知,這與矛盾.下面證為閉集.,由引理 2.2知 (U,τC)是拓撲T1空間.

?設(U,τC)是拓撲T1空間.則對任意的x∈U,

又因為

因此(U,C)是T1空間.

定理 2.5設(U1,C1),(U2,C2)是兩個覆蓋近似空間且f是覆蓋近似空間(U1,C1)到覆蓋近似空間(U2,C2)的覆蓋粗糙同胚映射,則覆蓋近似空間(U1,C1)是T1空間當且僅當覆蓋近似空間(U2,C2)是T1空間.

證明?設覆蓋近似空間(U1,C1)是T1空間且f是覆蓋近似空間(U1,C1)到覆蓋近似空間(U2,C2)的覆蓋粗糙同胚映射.則對任意的y∈U2,存在唯一的x∈U1使得x=f?1(y).又因為覆蓋近似空間(U1,C1)是T1空間,所以

?采用上面類似的方法可以證明當覆蓋近似空間(U2,C2)是T1空間時,覆蓋近似空間(U1,C1)也是T1空間.