四元數矩陣的新特征值定位

尹彩霞,李朝遷

(云南大學數學與統計學院,云南 昆明 650500)

1 引言

1843年,愛爾蘭數學家Hamilton在尋找將復數擴展到更高空間維度的方法時引入了四元數.如今,四元數和四元數矩陣[1]在狹義相對論和非相對論[2-3]、群表示[4-6]、電弱模型[7]、信號處理[8-9]、計算機視覺[10]和量子物理學[11]等有廣泛應用.隨著上述學科的迅速發展,對四元數和四元數矩陣的理論性質[12]和數值計算進行深入研究越來越有必要.然而,四元數對于乘法的非交換性使得對四元數矩陣的研究通常是困難的,也使得四元數矩陣的特征值[13]比常規矩陣復雜.精確計算其特征值非常困難,為此一些學者轉而對其定位或估計,最早的結果為文獻[14]提出的Ger?chgorin圓盤定理.接著,文獻[15]提出了Brauer卵型定理,改進了上述結果.本文將對四元數矩陣進一步研究,得到新的特征值包含集,并證明所得結果優于文獻[14-15]的結果.

為了研究方便,引入如下記號.R表示實數的全體,C表示復數的全體.H表示四元數的全體:H={a=a0+a1i+a2j+a3k,a0,a1,a2,a3∈R},其中i,j,k滿足

對于a=a0+a1i+a2j+a3k∈H,a的共軛為=a0?a1i?a2j?a3k,a的模為.下面給出四元數矩陣的定義及其性質.

定義 1.1[16]設矩陣A=(aij)m×n,若aij∈H,則稱A為四元數矩陣,記為A∈Hm×n.

當n=1時,X∈Hm×1為四元數列向量,X的轉置記為XT.

定義 1.2[1]設A∈Hn×n,若存在λ ∈H 及X=(x1,x2,···,xn)T∈Hn×1,X0,使得AX=λX,則稱λ為A的左特征值,記σl(A)={λ ∈H|AX=λX}.

定義 1.3[1]設A∈Hn×n,若存在λ ∈H及Y=(y1,y2,···,yn)T∈Hn×1,Y0,使得AY=Y λ,則稱λ為A的右特征值,記σr(A)={λ ∈H|AY=Y λ}.

定理 1.1[15]對于任意四元數序列x1,x2,···,xn∈H,有下述不等式成立:

文獻[12]提出:四元數矩陣A奇異(不可逆)當且僅當0是A的一個(左或右)特征值.其次,如果A是嚴格行或列對角占優四元數矩陣,則A可逆.同時也給出了四元數矩陣的左特征值包含集,即Ger?chgorin圓盤定理.

定理 1.2[14](四元數矩陣 Ger?chgorin圓盤定理)設A=[aij]∈Hn×n,λ為A的左特征值,則

在定理1.2的基礎上,文獻[15]給出了優于Ger?chgorin圓盤定理的四元數矩陣左特征值包含集,即Brauer卵型定理.

定理 1.3[15](四元數矩陣Brauer卵型定理)設A=[aij]∈Hn×n,λ為A的左特征值,則

2 主要結果

利用四元數矩陣[17]的性質,得到四元數矩陣非奇異性的判定條件.

定理 2.1設A=[aij]∈Hn×n,n≥2,若存在j∈N,對于任意的,i∈N,使

則A非奇異.

證明由 (4)式得,存在j0∈N,對于任意的0,i∈N,存在γ>0,使得

則矩陣AD:=[αij]∈Hn×n,其中

由(8)式知,AD是嚴格對角占優四元數矩陣,則AD非奇異.又因D非奇異,故A非奇異.證畢.

由上述四元數矩陣A的非奇異性判定條件,得出四元數矩陣A的左特征值包含區域.

定理 2.2設A=[aij]∈Hn×n,n≥2,則

其中,

證明假設結論不成立,則存在λ∈σl(A),使得(A),即存在j∈N,對于任意的,i∈N,都有

由定理2.1得,矩陣λI?A是非奇異的.但λ是A的左特征值.故,|λI?A|=0,這與矩陣|λI?A|非奇異矛盾,因此假設不成立.所以σl(A)?D(A).證畢.

下面,將定理2.2中新特征值包含集分別與定理1.3和定理1.4中的結果進行比較.

定理2.3設A=[aij]∈Hn×n,n≥2,D(A)?Γ(A).

證明令z∈D(A),由定理 2.2得,對于任意的j∈N,存在,i∈N,使

得z∈Vij(A),即

如果Γ(A),對于任意的k∈N,有|z?akk|>rk(A),因此,

這與(10)式矛盾.故對任意的z∈D(A),有z∈Γ(A).所以,D(A)?Γ(A).證畢.

定理 2.4設A=[aij]∈Hn×n,n≥2,D(A)?K(A).

證明令z∈D(A),由定理 2.2得,對于任意的j∈N,存在i∈N(),有

由定理 2.3知D(A)?Γ(A),則存在q∈N,使得|z?aqq|≤rq(A).對于q,存在p∈N(),使得z∈Vpq(A),即 (|z?app|?rqp(A))|z?aqq|≤|apq|rq(A).易得

即|z?app||z?aqq|≤rp(A)rq(A).因此,z∈K(A).故D?K(A).證畢.

例 2.1考慮四元數矩陣

由定理1.3和定理2.2得σl(A)?K(A)={z∈H:|z?3||z?4|≤12},

通過不等式放縮易得,D?K(A),并且0∈K(A),0(A),D(A)K(A).因此,定理2.2的結果優于定理1.3的結果,即定理2.2中四元數矩陣左特征值包含集比已有結果好.

上述是對四元數矩陣左特征值的定位,下面考慮四元數矩陣的右特征值包含區域.由于四元數乘法的不可交換性,故定理2.2的證明方法不適用.因此,需利用不同的方法得到一類特殊四元數矩陣右特征值定位結果.

定理 2.5設A=[aij]∈Hn×n,n≥2且aii∈R,則σr(A)?D(A).

證明令λ ∈σr(A),且 0=(x1,x2,···,xn)T∈Hn×1是對應的特征向量.對于任意的j∈N,令

取τ∈H,使得xpλ=τxp,由AX=Xλ的第p個等式且aii∈R有

對上式取模有

同時,取γ∈H,使得xjλ=γxj,由AX=Xλ的第j個等式且ajj∈R有

若|xj|=0或|xp|=0,結論成立.否則,由(12)式和(14)式得

故λ∈Vpj(A).因此,λ∈D(A).證畢.

注2.1定理2.2和定理2.5的區別在于條件中有無aii∈R,若將定理2.5中aii∈R去掉,(11)式和(13)式不一定成立,無法得到此結論.

注 2.2由定理2.4知,該定理結果改進了文獻[18]中的結果.

3 總結

本文給出了四元數矩陣新的特征值包含集,將其與Ger?chgorin圓盤定理和Brauer卵型定理給出的左特征值包含集進行了比較,給出了理論證明,并用實例具體說明了本文定理所得的左特征值包含集更優于Ger?chgorin圓盤定理和Brauer卵型定理給出的結果.同時,也得到了四元數矩陣的右特征值包含集.接下來,在已有四元數矩陣特征值包含集的基礎上,如何給出更有效的包含集是值得研究的.