一道原創試題的編制歷程與思考
——以直線與圓的位置關系為例

江蘇

隨著考試理論的不斷發展和命題技術水平的不斷提高，高考命題也在與時俱進，新背景的試題在高考中層出不窮，這些試題雖然不難，但學生往往無法應對，造成這種現象的主要原因是在平時的教學活動中，教師大都采用的是現成的陳題，一旦出現背景新穎的試題，學生缺乏應對體驗及策略.因此，適當原創試題，并運用在平時聯考中，是提高學生應變能力的重要途徑.在一定程度上，一道好的原創試題不僅可以引導教師改進教學方法，更能喚起學生學習數學的激情.

事實上，命制試題早已是高中一線教師的“家常飯”，也成為教師提高教學水平的基本手段之一，只不過有時為了節省時間，在平時考試中，教師們往往從一些現有的模考題或高考題中直接選取或者稍作改變，并沒有真正理解和體悟考題的價值和發揮其對課堂教學的導向作用.近期，南京市六校聯合體組織了一次高三年級摸底考試，要求本次聯合考試題必須為原創試題，筆者有幸成為命題組成員，被要求命制一道直線和圓的填空題，且該題在整個試卷的13題位置，屬于中檔難度試題，以下筆者分享和交流命制這道試題的歷程及思考，歡迎批評指正.

一、原創試題

題目：平面直角坐標系xOy中，點P在x軸上，從點P向圓C1：x2+(y-3)2=5引切線，切線長為d1，從點P向圓C2：(x-5)2+(y+4)2=7引切線，切線長為d2，則d1+d2的最小值為________.

二、設計思路

三、編題的過程

1.命題要求

題目內容：直線與圓的位置關系.

題目難度：中檔題，難度和要求與高考考綱一致.

2.研讀高考題

結合以上基本要求，為了更好地完成本次命題任務，保證命制的試題符合江蘇高考試題模式，所以筆者認真學習了自2008年以來的江蘇高考真題中所有有關距離的試題，以期從中找到靈感.

(1)研讀考查直線和圓的位置關系的問題

對2008年以來的直線和圓的問題進行了梳理和歸納，其目的是把握命題的難度和方向以及尋找命題的靈感.筆者發現絕大多數直線和圓的問題都是借助圓的方程來研究圓或直線的性質，有時候利用幾何性質可以簡化運算.比如：

題目1(2010·江蘇卷·9)在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是________.

(2)研讀考查非直線和圓的位置關系的問題

目的是遷移、發散思維，尋找命題的靈感.比如：

題目2(2008·江蘇卷·17)如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A，B及CD的中點P處，AB=20 km，BC=10 km.為了處理三家工廠的污水，現要在該矩形區域上(含邊界)，且與A，B等距離的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO，BO，PO.記排污管道的總長度為ykm.

(Ⅰ)按下列要求建立函數關系：

(ⅰ)設∠BAO=θ(rad)，將y表示為θ的函數；

(ⅱ)設PO=x(km)，將y表示為x的函數.

(Ⅱ)請你選用(Ⅰ)中的一個函數關系，確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道的總長度最短.

通過對江蘇高考真題的研讀，筆者發現，距離最短問題是江蘇高考常考點，每年的高考試題中都會有所體現.而且，以直線和圓為背景的最值問題很好地考查了學生的理性思維、分類思想以及綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，倍受高考命題專家的青睞.

3.研讀教材

根據多年的教學實踐，筆者發現，經典的高考試題大多是從教材中題目演變而來的，教材中的習題可分為練習、習題、復習參考題、本章測試，不同題目的指向目標也不一樣.因此，作為一線教師，應該多研究教材上的題目之間的聯系，研究高考試題和教材中的習題之間的聯系，認真思考，發現聯系，對于原創試題很有指導意義.因此，筆者試圖從教材蘇教版《必修2》中“直線與圓的位置關系”一節的內容尋找命題的點.比如，蘇教版《必修2》中“直線與圓的位置關系”一節后練習題第6題：從圓(x-1)2+(y-1)2=1外一點P(2，3)向圓引切線，求切線長.筆者從中得到啟發.

通過以上兩方面的研讀、學習，切線長問題是自2008年以來高考尚未涉及的內容，容易成為學生學習的盲點，所以筆者試圖以這方面知識為背景命制一道試題.

4.原創雛形

初稿：平面直角坐標系xOy中，從動點P向圓C：x2+(y-3)2=1引切線，切線長為d1，點P到x軸的距離為d2，則d1+d2的最小值為________.

基本想法：以直線和圓為背景，將切線長(距離)與其他距離進行組合命制試題，具體想考查二元變量最值問題的基本解決方法.但因為這個問題沒有最小值，只能證明無限接近2，況且這類問題高考也從未涉及，所以考慮給動點加個限制條件，減少變量個數.

【評注】最值問題一般通過函數的單調性或者不等式求解，通過不等式求解的方法中很多都是和完全平方式聯系在一起的，比如二次函數的頂點式，判別式法，基本不等式等等.本題雖可為教學中貫穿基本方法以及基本方法之間的聯系提供資源，但設參數，將最值問題轉化成方程的有解問題的解題思路，學生不常用，不易想到；一道好題還應該體現出學生的差異性，讓不同的學生有不同的收獲，因此，放棄了本稿.

再稿2：平面直角坐標系xOy中，點P在x軸上，從點P向圓C1：x2+(y-2)2=1引切線，切線長為d1，從點P向圓C2：x2+(y+3)2=1引切線，切線長為d2，則|d1-d2|的最大值為________.

再稿3：平面直角坐標系xOy中，點P在x軸上，從點P向圓C1：x2+(y-2)2=1引切線，切線長為d1，從點P向圓C2：x2+(y+3)2=1引切線，切線長為d2，則d1+d2的最小值為________.

5.其他變式

變式1.平面直角坐標系xOy中，點P在x軸上，從點P向圓C1：(x+3)2+(y-2)2=3引切線，切線長為d1，從點P向圓C2：(x-3)2+(y+3)2=8引切線，切線長為d2，若d1+d2=10，求點P的坐標.

上述變式考慮的均是以圓的切線長為背景的問題，當然，我們還可以發散到以二次曲線的切線長為背景的問題，將直線上的動點，發散到曲線上的動點等，更期待各位同仁的參與.

四、試題測量與評價

考試結束后，筆者對學生的答題情況進行了全面的統計與分析，獲得了試題的質量指標，試題難度為0.448，區分度為0.606.從學生答題情況看，44.8%的同學得5分，其余的同學得0分，對得0分的同學進行后期調訪時發現：40.7%是因為沒有時間去做造成的，43.5%是因為沒有讀懂題意導致沒有解題思路造成的,15.8%是直接放棄.

總的來講，本題的設計科學、嚴謹、新穎，具有一定的美感，符合高考的考綱要求，對學生具有一定的針對性，高考是選拔性考試，高考試題一定要有區分度，以利于不同層次學校對人才的選拔.作為測試卷填空題的小壓軸題，本題起到了較好的把關作用，有效地區分了學生的數學思維能力和學科素養.

五、思考

從試題涉及的知識體系看，原創試題要關注數學知識體系的主干內容，在知識的交會處設計試題；從試題涉及的思想方法看，原創試題要關注試題的“可持續發展”功能，試題立意要明確，不能廉價轉化、機械組合，也不要有意設置陷阱，同時，原創試題時也要特別關注語言表述，盡量做到簡潔，避免歧義.原創試題的“新”更要體現在情景與方法的選擇上，不要讓技巧和繁瑣的運算淡化了主題，當然，原創試題也有它的時效性，需要不斷更新，再好的新題，學生做過幾次后也就成了舊題.